Soluzioni di $2^n=3^m-1$ e $3^a=2^b-1$

[TomSawyer1]

Trovare tutte le soluzioni di $2^n=3^m-1$ e $3^a=2^b-1$, con $n,m,a,b in NN$. Decisamente non per esperti.

[Sk_Anonymous]

"Crook":Trovare tutte le soluzioni di $2^n=3^m-1$ [...], con $n,m in NN$.

Ovviamente $n > 0$ ed $(m,n) = (1,1)$ è soluzione. Supponiamo per il seguito $n \ge 2$. Allora $3^m \equiv 1$ mod 4, per cui $m = 2k$, per qualche $k \in NN$. Ne segue [1] $2^n = (3^k - 1)(3^k+1)$. Se $k = 1$, ne viene $2^3 = (3-1) \cdot (3+1)$, cosicché $(m,n) = (2,3)$ è un'ulteriore soluzione. Se $k \ge 2$, allora $8 \le 3^k - 1 < 3^k + 1$, e $\gcd(3^k-1, 3^k + 1) = 2$. Dunque la [1] è impossibile, per la fattorizzazione unica degli interi, poiché almeno uno dei fattori a secondo membro possiede un divisore primo naturale $\ne 2$.

[Salamandra2]

Scusate ma gcd e' il massimo comune divisore? Grazie

[TomSawyer1]

Sì.

[Sk_Anonymous]

"Crook":Trovare tutte le soluzioni di $3^a=2^b-1$, con $a,b in NN$.

Naturalmente $b > 0$ e le coppie $(a,b) = (0,1)$ ed $(a,b) = (1,2)$ sono entrambe soluzioni. Supponiamo per il seguito $b \ge 3$. Allora $3^a \equiv -1$ mod 4, e perciò necessariamente $a \equiv 1$ mod 2. Senonché $2^b = 3^a + 1$ solo se $b = v_2(3^a + 1) = 2 + v_2((3^a+1)/4) \le 3 + v_2(a) = 3$, dove $v_2(\cdot)$ indica una valutazione 2-adica. Poiché $2^3 - 1$ non è una potenza di 3, ne segue che non esistono altre soluzioni, oltre quelle già determinate.

[TomSawyer1]

"DavidHilbert":[quote="Crook"]Trovare tutte le soluzioni di $2^n=3^m-1$ [...], con $n,m in NN$.

Ovviamente $n > 0$ ed $(m,n) = (1,1)$ è soluzione. Supponiamo per il seguito $n \ge 2$. Allora $3^m \equiv 1$ mod 4, per cui $m = 2k$, per qualche $k \in NN$. Ne segue [1] $2^n = (3^k - 1)(3^k+1)$. Se $k = 1$, ne viene $2^3 = (3-1) \cdot (3+1)$, cosicché $(m,n) = (2,3)$ è un'ulteriore soluzione. Se $k \ge 2$, allora $8 \le 3^k - 1 < 3^k + 1$, e $\gcd(3^k-1, 3^k + 1) = 2$. Dunque la [1] è impossibile, per la fattorizzazione unica degli interi, poiché almeno uno dei fattori a secondo membro possiede un divisore primo naturale $\ne 2$.[/quote]

Le mie soluzioni sono un po' diverse, e analoge fra di loro.

Per $a>1$, si ha $3^a=9k$, per un intero $k$, quindi $2^b-=1(mod9)$. L'ordine di $2$ modulo $9$ è 6, pertanto $b=6d$, per un intero $d$. Allora $2^(6d)=8^(2d)-=1^(2d)=1(mod7)$, cioè $7|2^b-1=3^a$, il che è una contraddizione.

[TomSawyer1]

"DavidHilbert":[quote="Crook"]Trovare tutte le soluzioni di $2^n=3^m-1$ [...], con $n,m in NN$.

Ovviamente $n > 0$ ed $(m,n) = (1,1)$ è soluzione. Supponiamo per il seguito $n \ge 2$. Allora $3^m \equiv 1$ mod 4, per cui $m = 2k$, per qualche $k \in NN$. Ne segue [1] $2^n = (3^k - 1)(3^k+1)$. Se $k = 1$, ne viene $2^3 = (3-1) \cdot (3+1)$, cosicché $(m,n) = (2,3)$ è un'ulteriore soluzione. Se $k \ge 2$, allora $8 \le 3^k - 1 < 3^k + 1$, e $\gcd(3^k-1, 3^k + 1) = 2$. Dunque la [1] è impossibile, per la fattorizzazione unica degli interi, poiché almeno uno dei fattori a secondo membro possiede un divisore primo naturale $\ne 2$.[/quote]

Per questa, considero $n>3$, quindi $2^n=16k$, per un intero $k$. Si ha allora $3^m-=1(mod16)$, e poiché l'ordine di $3$ modulo $16$ è 4, $m=4d$, per un intero $d$. Anche l'ordine di $3$ modulo $5$ è 4, quindi $3^(4d)=3^m-=1(mod5)$, una contraddizione.