Sistema: soluzioni intere
Siano $a,b,c,d$ numeri interi qualsiasi. Dimostrare che il seguente sistema, nelle incognite $x,y,z,w$, ha soluzioni intere.
${(ax-by+z=c),(ay+bx+w=d),(z^2+w^2<=a^2+b^2):}$
${(ax-by+z=c),(ay+bx+w=d),(z^2+w^2<=a^2+b^2):}$
Risposte
Scusa: se $a$ soddisfa
$234*45+4*3+a=45$
vorresti dire che $a$ non e' certamente intera?
$234*45+4*3+a=45$
vorresti dire che $a$ non e' certamente intera?
No, fields: voglio dire che, se $a, b \in ZZ$ e $p, q \in QQ$, l'espressione $ap + bq$ può essere un intero senza che necessariamente debbano esserlo anche $p$ e $q$.
@fields: ok... bello l'approccio "perturbativo"...
cmq mi devo ancora convincere che certi miei passaggi sono inutili... di sicuro quelli sono i passaggi che ho fatto io per arrivare alla soluzione!
@DavidHilbert: si David, ma le soluzioni di fields sono:
$x=q_1$, $y=q_2$, $z=ap_1-bp_2$, $w=ap_2+bp_1$
e quindi che $p_1$ e $p_2$ non sono interi (come in effetti non sono per posizione) non interessa... forse hai letto una frase staccata da un contesto
....
cmq mi devo ancora convincere che certi miei passaggi sono inutili... di sicuro quelli sono i passaggi che ho fatto io per arrivare alla soluzione!
@DavidHilbert: si David, ma le soluzioni di fields sono:
$x=q_1$, $y=q_2$, $z=ap_1-bp_2$, $w=ap_2+bp_1$
e quindi che $p_1$ e $p_2$ non sono interi (come in effetti non sono per posizione) non interessa... forse hai letto una frase staccata da un contesto
....
"fields":
[...] Svolgendo i calcoli otteniamo le soluzioni $x=(ac+bd)/(a^2+b^2)$ e $y=(ad-bc)/(a^2+b^2)$. Poniamo allora $x=q_1+p_1$ e $y=q_2+p_2$, dove $q_1,q_2$ sono interi e $|p_1|<=1/2$ e $|p_2|<=1/2$. [...] Abbiamo allora
${(a(q_1+p_1)-b(q_2+p_2)=c),(a(q_2+p_2)+b(q_1+p_1)=d):}$
[...] Ci basta dunque verificare che
$(ap_1-bp_2)^2+(ap_2+bp_1)^2<=a^2+b^2$ [...]
@Thomas: a meno di non essermi del tutto rinc******ito, fields pone $x = q_1$, $y = q_2$, $z = ap_1 - bp_2$ e $w = ap_2 + bp_1$ (anche se è presente un'ambiguità notazionale, in quanto ad $x$ ed $y$, che di sicuro non semplifica la comprensione - a proposito, fields, che ne dici di un editing che fissi il punto?). Perciò, sebbene sia d'accordo sul fatto che $x$ ed $y$ sono inequivocabilmente degli interi, non capisco in che modo mai sia garantito che debbano anche esserlo, in linea di principio, $z$ e $w$.
mi scuserà fields se rispondo in vece sua... del resto la tua domanda è la stessa che ho posto io...
fields scrive un sistema analogo a quello del problema e lo risolve... quindi subito dopo il sistema non ha più incognite, ma relazioni tra numeri fissati... da queste relazioni, mediane sostituzioni, ottiene due relazioni:
${(aq_1-bq_2+(ap_1-bp_2)=c),(aq_2+bq_1+(ap_2+bp_1)=d):}$ [1]
a questo punto la prima relazione dà:
$ap_1-bp_2=c-aq_1+bq_2$
visto che il membro a destra è intero, lo è anche quello a sinistra, e analogamente per $ap_2+bp_1$.
a questo punto si può notare l'analogia tra le relazioni [1] ed il sistema iniziale per ottenere che quelle sono delle soluzioni...
fields scrive un sistema analogo a quello del problema e lo risolve... quindi subito dopo il sistema non ha più incognite, ma relazioni tra numeri fissati... da queste relazioni, mediane sostituzioni, ottiene due relazioni:
${(aq_1-bq_2+(ap_1-bp_2)=c),(aq_2+bq_1+(ap_2+bp_1)=d):}$ [1]
a questo punto la prima relazione dà:
$ap_1-bp_2=c-aq_1+bq_2$
visto che il membro a destra è intero, lo è anche quello a sinistra, e analogamente per $ap_2+bp_1$.
a questo punto si può notare l'analogia tra le relazioni [1] ed il sistema iniziale per ottenere che quelle sono delle soluzioni...
Ah, d'accordo! Finalmente ho capito... 
mi scuserà fields se rispondo in vece sua...
No, anzi, sei stato molto chiaro!
Per quanto riguarda il resto, tu hai posto $F=ax-by$ e $G=ay+bx$. Poi hai giustamente esaminato il reticolo $(ka-zb,kb+za)$, con $k$ e $z$ interi, verificando che sia sufficientemente denso per soddisfare la disuguaglianza. A questo punto basta porre $x=k$ e $y=z$, che sono ovviamente interi, e quindi sei a posto, senza bisogno di condizioni [5] e [6] p2a ecc.
ghgh... il punto è che io non ho posto $x=k$ ed $y=z$, bensì $F=ka-zb$ e $G=kb+za$.
Poi il fatto che dalla mia posizione segue la prima, e che avrei potuto benissimo fare la prima posizione fregandomene di tutti i ragionamenti sulla seconda, è vero anche questo... ma non tutte le ciambelle riescono col buco, e non sempre si vedono le soluzioni più lineari
Poi il fatto che dalla mia posizione segue la prima, e che avrei potuto benissimo fare la prima posizione fregandomene di tutti i ragionamenti sulla seconda, è vero anche questo... ma non tutte le ciambelle riescono col buco, e non sempre si vedono le soluzioni più lineari
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo