Sistema

[giuseppe87x]

Ragazzi qualcuno conosce un metodo semplice per risolvere questo sistema di congruenze?

$x-=7 (mod8)$
$x-=6 (mod7)$
$x-=5 (mod6)$
$x-=4 (mod5)$
$x-=3 (mod4)$
$x-=2 (mod3)$
$x-=1 (mod2)$

A me vengono fuori calcoli mostruosi.

[Aethelmyth]

Provo

Intanto puoi eliminare i moduli 2 e 4 perchè sono contenuti in $x-=7 (mod8)$
Puoi anche eliminare modulo 3 perchè cotenuto in $x-=5 (mod6)$

Rimane quindi
$x-=7 (mod8)$
$x-=6 (mod7)$
$x-=5 (mod6)$
$x-=4 (mod5)$[Edit: mi ero dimenticato il 5 ]

Considerando solo le prime due si trova $x=49*9k$ con $k$ intero positivo.
Poi attendo un illuminazione

[jack110]

io stavo penando a questo...le espressioni postate sopra, sono congruenze del tipo $x-=n-1 (mod n)$ la cui soluzione è un numero nella forma $k* -1$;
quindi si ha

$8x-1$
$7x-1$
$6x-1$
$5x-1$ (le considerazioni di aetelmyth le do per
buone, quindi mi fermo qua)


adesso bisogna trovare un numero nella forma $kx-1$ che sia esprimibile in tutte le forme scritte sopra; per trovare il $k$ minimo, facciamo l' mcm fra 8,7,6,5: m.c.m.(8,7,6,5)=840; quindi i numeri della forma $840x-1$ sono soluzioni del sistema...

giusto?

ciao

[giuseppe87x]

"jack":io stavo penando a questo...le espressioni postate sopra, sono congruenze del tipo $x-=n-1 (mod n)$ la cui soluzione è un numero nella forma $k* -1$;
quindi si ha

$8x-1$
$7x-1$
$6x-1$
$5x-1$ (le considerazioni di aetelmyth le do per
buone, quindi mi fermo qua)


adesso bisogna trovare un numero nella forma $kx-1$ che sia esprimibile in tutte le forme scritte sopra; per trovare il $k$ minimo, facciamo l' mcm fra 8,7,6,5: m.c.m.(8,7,6,5)=840; quindi i numeri della forma $840x-1$ sono soluzioni del sistema...

giusto?

ciao

Anche io ci avevo pensato tuttavia non sono molto sicuro attendiamo conferme...

[Aethelmyth]

"jack":io stavo penando a questo...le espressioni postate sopra, sono congruenze del tipo $x-=n-1 (mod n)$ la cui soluzione è un numero nella forma $k* -1$;
quindi si ha

$8x-1$
$7x-1$
$6x-1$
$5x-1$ (le considerazioni di aetelmyth le do per
buone, quindi mi fermo qua)


adesso bisogna trovare un numero nella forma $kx-1$ che sia esprimibile in tutte le forme scritte sopra; per trovare il $k$ minimo, facciamo l' mcm fra 8,7,6,5: m.c.m.(8,7,6,5)=840; quindi i numeri della forma $840x-1$ sono soluzioni del sistema...

giusto?

Si credo sia giusto, non vedo perchè dovrebbe essere il contrario