Serieeee

[fu^2]

un esercizio che propongo anche a voi, perchè lo ritengo una bella sfida!

dimostrare che per $n->+oo$, $sum_(k=2)^n1/(klnk)-ln(lnn)$ ammette limite finito.
da questo dedurre che se $p\in\NN_0$ allora

$lim_(nto+oo)sum_(k=n)^oo1/(klnk)=lnp$


buon divertimento

[fu^2]

il primo punto son riuscito a risolverlo

dai chi si cimenta?...

non è facile comunque!

[Eredir]

Quel limite assomiglia molto a quello che definisce la costante di Eulero-Mascheroni, perciò basta adattare la dimostrazione dell'esistenza di quel limite.

Chiamo $C_n=\sum_(k=2)^n1/(k*lnk)-ln(lnn)$ e $D_n=C_n-1/(n*lnn)$.
Si calcola facilmente $C_(n+1)-C_n=1/((n+1)ln(n+1))-ln(ln(n+1)/lnn)$ e $D_(n+1)-D_n=1/(n*lnn)-ln(ln(n+1)/lnn)$.
Si verifica poi che $1/((n+1)ln(n+1)) Inoltre essendo $D_n Quindi essendo $C_n$ una successione monotona decrescente e limitata inferiormente deve convergere.

Per il secondo quesito non capisco cosa intendi, potresti spiegarlo più chiaramente?

EDIT: Corretto un indice errato.

[fu^2]

"Eredir":Quel limite assomiglia molto a quello che definisce la costante di Eulero-Mascheroni, perciò basta adattare la dimostrazione dell'esistenza di quel limite.

Chiamo $C_n=\sum_(k=2)^n1/(n*lnn)-ln(lnn)$ e $D_n=C_n-1/(n*lnn)$.
Si calcola facilmente $C_(n+1)-C_n=1/((n+1)ln(n+1))-ln(ln(n+1)/lnn)$ e $D_(n+1)-D_n=1/(n*lnn)-ln(ln(n+1)/lnn)$.
Si verifica poi che $1/((n+1)ln(n+1)) Inoltre essendo $D_n Quindi essendo $C_n$ una successione monotona decrescente e limitata inferiormente deve convergere.

Per il secondo quesito non capisco cosa intendi, potresti spiegarlo più chiaramente?

bravo, la mia stessa soluzione (quasi) very compliments!

per il secondo punto sul libro da cui ho pros l'esercizio era così, non mi è troppo chiaro neanche a me...

quando rivedo in settimana il mio prof li chiedo una bella spiegazione