Serie S8

[carlo232]

Sia $n$ un intero positivo e $S_n={n+1,n+2,n+3...n+8}$

Dimostrare che non esiste nessun $n$ per cui sia verificata la seguente condizione

1) Per ogni $a in S_n$ esiste $b in S_n$ tale che $b!=a$ e $gcd(a,b)>1$

Ciao Ciao

[jack110]

ehm...per che cosa sta "gcd"? forse volevi intendere mcd o altro?

ciao

[blackdie]

se non sbaglio sta per great common divisor,cioè mcd...

[carlo232]

"blackdie":se non sbaglio sta per great common divisor,cioè mcd...

Si, sta per gret common divisor...che differisce da massimo comun divisor solo per la lingua

[Thomas16]

carino!... beh alla peggio sono 210 ottave di numeri da analizzare... anche se si possono ridurre di parecchio i controlli

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"carlo23":Sia $n$ un intero positivo e $S_n={n+1,n+2,n+3...n+8}$

Dimostrare che non esiste nessun $n$ per cui sia verificata la seguente condizione

1) Per ogni $a in S_n$ esiste $b in S_n$ tale che $b!=a$ e $gcd(a,b)>1$

Ciao Ciao

In altri termini esiste un elemento in $S_n$ coprimo con tutti gli altri.

Se c'è un numero in $S_n$ non divisibile per $2,3,5,7$, abbiamo il numero cercato.

Supponiamo allora che ogni numero in $S_n$ sia divisibile per qualcuno fra $2,3,5,7$.
Osserviamo che ci sono due numeri $h,k$ in $S_n$ non divisibili né per $2$ né per $3$. Infatti $4$ numeri sono divisibili per $2$ e fra i rimanenti al massimo due sono divisibili per $3$: altrimenti avremmo due numeri dispari la cui differenza è $3$, che è assurdo.
Ora, $h$ e $k$ non sono entrambi divisibili per $5$ o entrambi per $7$, altrimenti la differenza sarebbe $5$ o $7$, assurdo perché $h$ e $k$ sono dispari.
Dunque, senza perdita di generalità $h$ è divisibile per $5$ e $k$ per $7$.

Se $k$ è l'unico numero in $S_n$ divisibile per $7$, allora $k$ è coprimo con tutti gli altri.

Se esiste un altro numero $j$ in $S_n$ divisibile per $7$, allora, senza perdità di generalità, $j=n+1$ e $k=n+8$. Ma allora dovrebbero esistere $6$ interi consecutivi ciascuno divisibile per uno fra i primi $2,3,5$, ed è assurdo. Infatti, $3$ numeri sarebbero divisibili per $2$ e fra i rimanenti dovremmo avere che due dovrebbero essere divisibili entrambi per $5$ o per $3$, ma la lora differenza dovrebbe dunque essere $3$ o $5$ mentre invece è pari.

[carlo232]

"fields":In altri termini esiste un elemento in $S_n$ coprimo con tutti gli altri...

Bravo fields

In generale una sequenza di $N$ interi consecutivi tali che nessuno di essi è coprimo con tutti gli altri si chiama sequenza stapled.

Si dimostra con metodi elementari simili a quegli di fields (che poi sarebbero metodi di crivello) che non esistono sequenze stapled per $N<17$. Invece è stato dimostrato che per ogni $N>=17$ esiste sempre una sequenza di stapled.

Se qualcuno vuole approfondire http://citeseer.ist.psu.edu/gassko96stapled.html

Ciao Ciao

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Interessante, carlo, interessante.