Seno, Coseno e Sezione Aurea
1. Calcolare $sin(36°)$ e $cos(36°)$ non approssimati [So che c'entra qualcosa la sezione Aurea 
]
2. Dimostrare che $sin(60°)$ è $sqrt(3)/2$
P.S. Nn sono a conoscenza di alcuna soluzione
]2. Dimostrare che $sin(60°)$ è $sqrt(3)/2$
P.S. Nn sono a conoscenza di alcuna soluzione
Risposte
Per il secondo punto puoi prendere un triangolo equilatero, che ha tutti gli angoli di 60°. A questo punto applicando la definizone del seno:
$\sin(\pi/3)=h/{L}=\sqrt{L^2-L^2/4}/L=\sqrt{3}/2$
Dove $h$ è l'altezza.
$\sin(\pi/3)=h/{L}=\sqrt{L^2-L^2/4}/L=\sqrt{3}/2$
Dove $h$ è l'altezza.
La sezione aurea di un segmento di lunghezza 1 corrisponde al doppio del seno di $pi/10$
$sen(18°) = cos(72°) = ((-1 + sqrt(5)) / 2)/2$
Eugenio
$sen(18°) = cos(72°) = ((-1 + sqrt(5)) / 2)/2$
Eugenio
Si ma xke è $(-1+sqrt5)/2$?
@Celine
Quella soluzione parte dal presupposto che so che il lato del decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta ... se non lo sapessi?
Per il punto 2, xke $h=\sqrt{L^2-L^2/4}$?
@Celine
Quella soluzione parte dal presupposto che so che il lato del decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta ... se non lo sapessi?
Per il punto 2, xke $h=\sqrt{L^2-L^2/4}$?
Nel seguente file pdf dovrebbe esserci la soluzione:
http://xoomer.alice.it/mathontheweb/mat ... 202005.pdf -
http://xoomer.alice.it/mathontheweb/mat ... 202005.pdf -
Per il primo puoi fare così: posto $\alpha=\pi/5$ e $y=sin(\alpha)$
con le formule di addizione puoi verificare che:
$sin(5\alpha)=5y-20y^3+16y^5=0$
l'equazione diventa biquadratica in $y$ e quindi facilmente risolvibile.
Per la seconda questione basta usare Pitagora come ha fatto Cavalli tenendo conto che in un 'mezzo triangolo equilatero' l'ipotenusa è il doppio del cateto minore.
ciao
con le formule di addizione puoi verificare che:
$sin(5\alpha)=5y-20y^3+16y^5=0$
l'equazione diventa biquadratica in $y$ e quindi facilmente risolvibile.
Per la seconda questione basta usare Pitagora come ha fatto Cavalli tenendo conto che in un 'mezzo triangolo equilatero' l'ipotenusa è il doppio del cateto minore.
ciao
Se tu non lo sapessi considera il decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio unitario e centro O; il seno di 18° è (numericamente) pari a metà del lato del suddetto decagono;se consideri il triangolo ABO (con A e B vertici adiacenti) noterai che è isoscele su AB e ha angolo al vertice pari a 36°, e gli angoli alla base pari a 72°; traccia ora la bisettrice dell'angolo BAO che interseca il lato OB in C, ti accorgerai che ottieni un triangolo (CBA) che è simile a OBA perchè ha un angolo comune con OBA (l'angolo in B) e uno congruente a quello in O (l'angolo BAC) per costruzione. In due triangoli simili i lati corrispondenti sono in proporzione, quindi BC:AB=AB:OB dove il primo AB è inteso come base del triangolo OBA e il secondo è considerato lato di BAC (per dovere di cronaca le due considerazioni si possono scambiare) e essendo BC pari alla differenza di OB e AB (perchè il triangolo OCA è isoscele su OA per costruzione e ha quindi i lati OC e CA congruenti) si ha che AB è la sezione aurea di OA; quindi il seno di 18° è pari alla metà della sezione aurea di 1; con un semplice ragionamento hai che la sezione aurea di 1 è $(-1+sqrt5)/2$, e quindi il, gioco è fatto.
"Aethelmyth":
Si ma xke è $(-1+sqrt5)/2$
Per il punto 2, xke $h=\sqrt{L^2-L^2/4}$?
conosci il teorema di Pitagora?
"goldengirl":
[quote="Aethelmyth"]Si ma xke è $(-1+sqrt5)/2$
Per il punto 2, xke $h=\sqrt{L^2-L^2/4}$?
conosci il teorema di Pitagora?
[/quote]...
.... è ke avevo fretta qndo ho letto il messaggio [EDIT] Non avevo letto i post prima di goldengirl xD
"Aethelmyth":
[quote="goldengirl"][quote="Aethelmyth"]Si ma xke è $(-1+sqrt5)/2$
Per il punto 2, xke $h=\sqrt{L^2-L^2/4}$?
conosci il teorema di Pitagora?
[/quote]...
.... è ke avevo fretta qndo ho letto il messaggio ok mi resta solo la domanda 1 allora
[/quote]non preoccuparti..... capita a tutti....
"Salamandra":
Se tu non lo sapessi considera il decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio unitario e centro O; il seno di 18° è (numericamente) pari a metà del lato del suddetto decagono;se consideri il triangolo ABO (con A e B vertici adiacenti) noterai che è isoscele su AB e ha angolo al vertice pari a 36°, e gli angoli alla base pari a 72°; traccia ora la bisettrice dell'angolo BAO che interseca il lato OB in C, ti accorgerai che ottieni un triangolo (CBA) che è simile a OBA perchè ha un angolo comune con OBA (l'angolo in B) e uno congruente a quello in O (l'angolo BAC) per costruzione. In due triangoli simili i lati corrispondenti sono in proporzione, quindi BC:AB=AB:OB dove il primo AB è inteso come base del triangolo OBA e il secondo è considerato lato di BAC (per dovere di cronaca le due considerazioni si possono scambiare) e essendo BC pari alla differenza di OB e AB (perchè il triangolo OCA è isoscele su OA per costruzione e ha quindi i lati OC e CA congruenti) si ha che AB è la sezione aurea di OA; quindi il seno di 18° è pari alla metà della sezione aurea di 1; con un semplice ragionamento hai che la sezione aurea di 1 è $(-1+sqrt5)/2$, e quindi il, gioco è fatto.
Bello mi piace molto
"Mirco59":
Per il primo puoi fare così: posto $\alpha=\pi/5$ e $y=sin(\alpha)$
con le formule di addizione puoi verificare che:
$sin(5\alpha)=5y-20y^3+16y^5=0$
l'equazione diventa biquadratica in $y$ e quindi facilmente risolvibile.
Nun ho capito bene le condizioni iniziali
"Aethelmyth":
Nun ho capito bene le condizioni iniziali
Hai ragione, ho saltato qualche passaggio:
1) $\beta=\pi/10=18°$
2) $alpha=2\beta$
3) $y=sin\alpha$
4) l'equazione di prima: $sin(5\alpha)=5y-20y^3+16y^5=0$
5) formula di bisezione: $sin\beta=\sqrt((1-\cos\alpha)/2).
ciao
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