Semplificazione lecita

[ficus2002]

Siano $x,y,z$ tre cifre decimali con $z\ne 0$ e siano $xy:=10*x+y$, $yz:=10*y+z$. Determinare tutti i valori di $x,y,z$ affinchè valga la semplificazione:
${xy}/{yz}=x/z$

[Pachito1]

La risposta è: $x=y=z$ , ${x=1,y=6,z=4}$ , ${x=1,y=9,z=5}$ , ${x=2,y=6,z=5}$
Infatti abbiamo $(10x+y)/(10y+z)=x/z$ da cui $10xz+yz=10xy+xz$

Banalmente $x=y=z$ è soluzione. Inoltre deve essere che xy è divisibile per x, dunque y=a*x. Sostituendo si ottiene
$10xz+axz=10ax^2+xz$ ovvero $(9+a)z=10ax$. Ora siccome a destra compare un 10 deve essere che:
- (9+a) è divisibile per 5
e/o
- z è 5
La prima ipotesi è soddisfatta per a=1 (ma si ricade nella soluzione $x=y=z$) e per a=6 per cui $15z=60x$ cioè $z=4x$ e $y=6x$ che ha come unica soluzione ${x=1,y=6,z=4}$
La seconda ipotesi porta a scrivere $x=(9+a)/(2a)$ che ha soluzioni per a=9 e a=3 da cui ${x=1,y=9,z=5}$ , ${x=2,y=6,z=5}$

[Bruno13]

Ciao, Pachito
Mi sembra buono il tuo procedimento.
In realtà, però, non è detto che 10x+y sia
un multiplo di x: può anche non esserlo.
Uscendo dalla tua ipotesi, infatti, si trova
un'altra terna valida: x=4, y=9 e z=8,
che mi pare completi la tua risposta.

[Pachito1]

Hai ragione , avrei dovuto considerare anche la condizione z=a*x, ma erano le 3.00 di notte...

[ficus2002]

"Pachito":Hai ragione , avrei dovuto considerare anche la condizione z=a*x, ma erano le 3.00 di notte...

Però, non è sufficiente considerare i casi $x|y$ e $x|z$...