Segmenti minimi nella ennesima dimensione

[curie88]

Il triangolo è la figura chiusa con meno segmenti possibili nel piano a 2 dimensioni; allora
quanti segmenti ha la figura chiusa' se esiste, con meno segmenti nella 5° dimensione?
Generalizzando alla ennesima dimensione?

[killing_buddha]

Il triangolo è la figura chiusa con meno segmenti possibili nel piano a 2 dimensioni

Cosa significa?

[axpgn]

Penso intenda che nel piano il poligono con il minimo numero di lati (spigoli) sia il triangolo (nello spazio penso sia il tetraedro ... forse )
Magari generalizzando la formula di Eulero ...

[Drazen77]

Sarà una iperpiramide a base triangolare?

[Alemin1]

ciao, caso vuole che anche io proprio ieri abbia pensato alla stessa domanda, rileggendola ed informandomi su internet, dal basso delle mie competenze (terza liceo scientifico scienze applicate) sono arrivato a pensare alla formula
$ y=(x*(x+1))/2 $
con y=numero minimo lati e x= numero dimensioni
inizialmente avevo notato un certo collegamento che mi aveva portato una serie di numeri possibili candidati a seconda della dimensione scelta, cercando in internet la formula per rappresentare questa serie sono arrivato ad una plausibile, ho verificato il grafico della funzione e l' ho aggiustato, sembrerebbe funzionare, i risultati li ho confrontati con quelli trovati in internet e... (per ora) risultano!
nulla di certo ma è valida per le seguenti figure
2d triangolo
3d tetraedro
4d ipertetraedro
5d 5-simplex*
6d 6-simplex*
7d 7-simplex*
8d 8-simplex*
9d 9-simplex*
10d 10-simplex*
tutti i risultati verificabili cercando su wikipedia i nomi (di cui non riesco a lineare le pagine)
quelli con * li ho trovati solo in inglese
P.s. ti avviso che il poliptoto n-dimensionale con il minor numero di vertici (e quindi presumo anche di lati) si chiama "SIMPLESSO", come prevedibile dai risultati con*

[axpgn]

Ragionando a ruota libera ( ) provo a fare delle ipotesi (non dimostrate ) ...

- per costruire un "solido" in $n$ dimensioni occorrono al minimo $n+1$ punti
- se l'$n$-solido è il "più piccolo" della sua dimensione (qualsiasi cosa significhi) ogni punto (vertice) deve essere collegato agli altri
- ogni "spigolo" collega due (e due soli) vertici perciò perché siano tutti collegati saranno necessari $((v),(2))=(v(v-1))/2$ spigoli

Mah ...

Cordialmente, Alex

P.S.: qualcosa mi dice che kb conosca la risposta ...

[curie88]

"axpgn":Penso intenda che nel piano il poligono con il minimo numero di lati (spigoli) sia il triangolo (nello spazio penso sia il tetraedro ... forse )
Magari generalizzando la formula di Eulero ...

Ciao axpgn, Il poligono in due dimensioni è un triangolo, in 3 dimensioni non per forza il tetraedro ma una qualsiasi piramide. Dunque nella quarta @drazen77 mi aspetterei per analogia un iper-piramide.

"killing_buddha":

Il triangolo è la figura chiusa con meno segmenti possibili nel piano a 2 dimensioni

Cosa significa?

Intendo dire che ciascun vertice della figura, che accetto per elementare, è collegato con almeno un altro, ed esiste almeno una faccia per la figura che si viene a creare da tali collegamenti.

"Alemin":...

sono giunto alla medesima formula da te trovata. Anche a me è successa la stessa cosa, ho pensato un giorno di risolvere un esercizio in un dato modo e poco dopo è stato risolto in tal modo anticipandomi da un altro..., Comunque a questo esercizio pensai almeno un paio d'anni fa.

prendendo un triangolo in un piano dello spazio, se si aggiunge un punto nello spazio non facente parte del piano, si ottiene una piramide, il cui numero di spigoli è $6$, se ora si immagina di fissare un altro punto esterno allo spazio, ma questo si può fare sul foglio, se non vado errando,e si collega a tale punto esterno ciascun vertice della piramide preccedemente raffigurata, per analogia si dovrà avere una iper-piramide i cui spigoli che si possono contare,sono $15$, sempre se non vado errando..., per la formula è facile riconoscerla è quella di Gauss, dei numeri triangolari.

[Alemin1]

"Un simplesso n-dimensionale è l'inviluppo convesso n+1 punti [...] Gli n+1 punti sono i vertici del simplesso"
da wikipedia
Sostituendo v=n+1 alla formula di @axpgn la mia e la sua soluzione coincidono

grazie @curie88 , la formula di gauss dei numeri triangolari mi mancava

[axpgn]

@ curie88
Lascia perdere le piramidi, possono avere una base qualsiasi; è il tetraedro il "solido minimo" (non è necessario che sia regolare)

[curie88]

@axpgn OK, in effetti è il tetraedro...volevo aggiungere piramide con base triangolare...

[curie88]

"Alemin":

grazie @curie88 , la formula di gauss dei numeri triangolari mi mancava

Grazie a te, avevo rimosso che era un simplesso la figura generica che stavo cercando.