Sculture molto... geometriche
Una scultura è formata da due cilindri retti di raggio 10 dm (cioè diametro 20 dm) che si
intersecano in modo che i loro assi siano incidenti nel loro punto medio. Qual è il volume della
scultura in dm3?
Riesco a risolverlo solo con un integrale.... (tra l'altro difficile...) ma poichè il problema viene da una gara a squadre scolastica sono certo che si possa risolvere senza il calcolo.
intersecano in modo che i loro assi siano incidenti nel loro punto medio. Qual è il volume della
scultura in dm3?
Riesco a risolverlo solo con un integrale.... (tra l'altro difficile...) ma poichè il problema viene da una gara a squadre scolastica sono certo che si possa risolvere senza il calcolo.
Risposte
Scusa... ma non manca un dato (l'altezza dei cilindri)?
Ti dò ragione, ma solo a metà... l'altezza è di 20 cm, però specificavo che i cilindri sono retti.
Vi posto anche un'immagine perchè mi rendo conto che non è facile da visualizzare. (grazie, cabri 3D!!!)
"elgiovo":
Ti dò ragione, ma solo a metà... l'altezza è di 20 cm, però specificavo che i cilindri sono retti.
Quello che descrivi tu è un cilindro equilatero. I cilindri retti possono avere un'altezza qualsiasi.
Provo a vedere se riesco a fare il conto in maniera "semplice".
Hai ragione. Però ti assicuro che ho copiato il testo tale e quale a quello della gara. Ad ogni modo tranquillo perchè sono sicuro che sono anche equilateri, proprio come nella figura. Insomma, la scultura è inscritta ad un cubo.
Niente da fare... o quelli che fanno le gare a squadre sono pazzi o siamo tutti incapaci.... 
la forma più semplice che mi è venuta in mente richiede l'integrazione di $[1- sen(x)]^2$. E' ammissibile a scuola?
Davvero? mi mandi la tua soluzione? togliendo le parti vuote, mi trovo a risolvere niente di meno $int_0^(10)x[10-sqrt(x(20-x))]dx dm^3 $, una bella pizza.
Qui c'è un problema simile svolto: http://dma.ing.unipi.it/~gobbino/ForumS ... c.php?t=45
Non l'ho letto, però può darsi che ti sia utile.
Non l'ho letto, però può darsi che ti sia utile.
il mio ragionamento è il seguente, e spero che sia chiaro, in assenza di supporto grafico.
Siano r ed r' gli assi dei cilindri, $Pi$ il piano che li contiene, $Pi'$ un piano parallelo al primo, che interseca i due cilindri.
Il piano $Pi'$ interseca la circonferenza di base (di centro O e raggio R) di uno dei cilindri in due punti, sia A uno di essi.
Tale piano $Pi'$ interseca lo spigolo del cubo contenente i cilindri in B. Questo punto è quello di intersezione del quadrato circoscritto alla circonferenza di base citata, nel quadrante contenente A.
Sia s la retta per O ortogonale al piano $Pi$, $eta$ l'angolo formato tra essa ed il segmento OA. Si calcola che $AB=R*[1-sin(eta)]$.
Semplici considerazioni di simmetria ci consentono di affermare che l'intersezione tra il piano $Pi'$ ed il solido costituito dai due cilindri è una figura a croce contenuta nel quadrato circoscritto di lato $2*R$, che ha come complemento rispetto al quadrato circoscritto quattro quadrati (in corrispondenza degli spigoli) di lato pari a $AB$. Il volume del solido si otterrà quindi come differenza tra quello del cubo e quello la cui sezione è data da questi quadrati. Mi limito a considerare uno solo di essi (il totale sarà 8 volte quello del singolo). Se indico y la distanza tra $Pi$ e $Pi'$, avrò che $y=R*cos(eta)$ e $dy=R*dcos(eta)$.
Il volume del solido sarà dato dall'integrale tra $0$ e $pi/2$ del volume infinitesimo
$dV=-AB^2*dy=-R^2[1-sin(eta)]^2*R*dcos(eta)=R^3*[1-sin(eta)]^2*sin(eta)d eta$, cioé:
$int_0^(pi/2) R^3*[1-sin(eta)]^2*sin(eta)d eta$
In effetti è un po’ più complicato rispetto a quanto avevo dichiarato nel post precedente, ma non molto. Prima avevo dimenticato di considerare l’altezza infinitesima per l’integrazione del volume, che si tira dietro anche il differenziale di $cos(eta)$.
Siano r ed r' gli assi dei cilindri, $Pi$ il piano che li contiene, $Pi'$ un piano parallelo al primo, che interseca i due cilindri.
Il piano $Pi'$ interseca la circonferenza di base (di centro O e raggio R) di uno dei cilindri in due punti, sia A uno di essi.
Tale piano $Pi'$ interseca lo spigolo del cubo contenente i cilindri in B. Questo punto è quello di intersezione del quadrato circoscritto alla circonferenza di base citata, nel quadrante contenente A.
Sia s la retta per O ortogonale al piano $Pi$, $eta$ l'angolo formato tra essa ed il segmento OA. Si calcola che $AB=R*[1-sin(eta)]$.
Semplici considerazioni di simmetria ci consentono di affermare che l'intersezione tra il piano $Pi'$ ed il solido costituito dai due cilindri è una figura a croce contenuta nel quadrato circoscritto di lato $2*R$, che ha come complemento rispetto al quadrato circoscritto quattro quadrati (in corrispondenza degli spigoli) di lato pari a $AB$. Il volume del solido si otterrà quindi come differenza tra quello del cubo e quello la cui sezione è data da questi quadrati. Mi limito a considerare uno solo di essi (il totale sarà 8 volte quello del singolo). Se indico y la distanza tra $Pi$ e $Pi'$, avrò che $y=R*cos(eta)$ e $dy=R*dcos(eta)$.
Il volume del solido sarà dato dall'integrale tra $0$ e $pi/2$ del volume infinitesimo
$dV=-AB^2*dy=-R^2[1-sin(eta)]^2*R*dcos(eta)=R^3*[1-sin(eta)]^2*sin(eta)d eta$, cioé:
$int_0^(pi/2) R^3*[1-sin(eta)]^2*sin(eta)d eta$
In effetti è un po’ più complicato rispetto a quanto avevo dichiarato nel post precedente, ma non molto. Prima avevo dimenticato di considerare l’altezza infinitesima per l’integrazione del volume, che si tira dietro anche il differenziale di $cos(eta)$.
I cilindri si intersecano anche perpendicolarmente, anche se non è detto in modo esplicito nel problema.
PS: vedo che usi Cabri 3D, o sbaglio?
PS: vedo che usi Cabri 3D, o sbaglio?
Grazie Kinder, la tua soluzione è chiara e correttissima. Ora scrivo la mia. Di fatto entrambi siamo andati a caccia del volume delle parti vuote.
Come si vede in figura, ottenuta con Cabri 3D, le parti vuote sono 8. Ora, immaginiamo di tagliare in due una di queste parti con un piano.
Poichè il “soffitto” di questo vuoto è parte della superficie di un cilindro con asse perpendicolare ad $AB$, si possono tracciare infinite linee, sempre perpedicolari ad $AB$, su tale “soffitto”. Ma allora è possibile disegnare, per ognuna di queste linee, un rettangolo i cui lati giacciono (in senso antiorario) sul “pavimento”, sulla faccia del cubo che contiene la scultura, sul “soffitto” e sul piano con cui è stata sezionata la “stanza”. Mi rendo conto che tutto ciò è difficile da visualizzare, perciò ecco un disegno.
Sembra un trapezio, ma è un rettangolo. Infatti la curva $CD$ (che è un quarto della circonferenza risultante dall’intersezione dei due cilindri) è stata disegnata più in alto che nella realtà, per migliore comprensione. Calcoliamo l’area del rettangolo. Muovendosi di $x$ $dm$ nel verso indicato dalla freccia, avremo che la base del rettangolo vale anch’essa $x$ $dm$, in quanto $ABD$ è rettangolo con angoli in $D$ e in $A$ di $pi/4$. Resta da calcolare $EF$. Onde evitare fastidiosi calcoli geometrici con una circonferenza inscritta in un quadrato, consideriamo la semicirconferenza di raggio $10$ descritta dalla funzione $y = sqrt(100 − x^2)$. Trasliamo la funzione a destra di $10$ $dm$ ($x rightarrow x − 10$), ribaltiamola ($y rightarrow −y$) e spostiamola di $10$ $dm$ verso l’alto ($y rightarrow y + 10$). Abbiamo così ottenuto nel piano “decimetrico” $Oxy$ una “fotografia” della curva $CB$. Ma $EF$ è allora $10 −sqrt(x(20 − x))$ dm, ovvero la funzione trasformata, e l’area del rettangolo è $A_r = x[10 − sqrt(x(20 − x))]$ $dm^2$. Il volume della “stanza” è la somma delle infinite aree dei rettangoli, e vale quindi $V_s=int_0^(10)x[10-sqrt(x(20-x))]dx$ $dm^3$. Calcolando l'integrale e sottraendolo al volume del cubo $16$ volte si ottiene il risultato cercato.
In realtà il mio integrale e il tuo mi sembrano piuttosto simili, dovrebbe bastare una sostituzione per passare dall'uno all'altro.
Quando dici:
il volume è negativo perchè ti fa comodo (perchè facendo il differenziale di $cos eta $ ti viene un altro segno meno)? Questa è l'unica domanda (nemmeno troppo importante) che ho da farti, per il resto va tutto benissimo.
Come si vede in figura, ottenuta con Cabri 3D, le parti vuote sono 8. Ora, immaginiamo di tagliare in due una di queste parti con un piano.
Poichè il “soffitto” di questo vuoto è parte della superficie di un cilindro con asse perpendicolare ad $AB$, si possono tracciare infinite linee, sempre perpedicolari ad $AB$, su tale “soffitto”. Ma allora è possibile disegnare, per ognuna di queste linee, un rettangolo i cui lati giacciono (in senso antiorario) sul “pavimento”, sulla faccia del cubo che contiene la scultura, sul “soffitto” e sul piano con cui è stata sezionata la “stanza”. Mi rendo conto che tutto ciò è difficile da visualizzare, perciò ecco un disegno.
Sembra un trapezio, ma è un rettangolo. Infatti la curva $CD$ (che è un quarto della circonferenza risultante dall’intersezione dei due cilindri) è stata disegnata più in alto che nella realtà, per migliore comprensione. Calcoliamo l’area del rettangolo. Muovendosi di $x$ $dm$ nel verso indicato dalla freccia, avremo che la base del rettangolo vale anch’essa $x$ $dm$, in quanto $ABD$ è rettangolo con angoli in $D$ e in $A$ di $pi/4$. Resta da calcolare $EF$. Onde evitare fastidiosi calcoli geometrici con una circonferenza inscritta in un quadrato, consideriamo la semicirconferenza di raggio $10$ descritta dalla funzione $y = sqrt(100 − x^2)$. Trasliamo la funzione a destra di $10$ $dm$ ($x rightarrow x − 10$), ribaltiamola ($y rightarrow −y$) e spostiamola di $10$ $dm$ verso l’alto ($y rightarrow y + 10$). Abbiamo così ottenuto nel piano “decimetrico” $Oxy$ una “fotografia” della curva $CB$. Ma $EF$ è allora $10 −sqrt(x(20 − x))$ dm, ovvero la funzione trasformata, e l’area del rettangolo è $A_r = x[10 − sqrt(x(20 − x))]$ $dm^2$. Il volume della “stanza” è la somma delle infinite aree dei rettangoli, e vale quindi $V_s=int_0^(10)x[10-sqrt(x(20-x))]dx$ $dm^3$. Calcolando l'integrale e sottraendolo al volume del cubo $16$ volte si ottiene il risultato cercato.
In realtà il mio integrale e il tuo mi sembrano piuttosto simili, dovrebbe bastare una sostituzione per passare dall'uno all'altro.
Quando dici:
Il volume del solido sarà dato dall'integrale tra $0$ e $pi/2$ del volume infinitesimo
$dV=-AB^2*dy=-R^2[1-sin(eta)]^2*R*dcos(eta)=R^3*[1-sin(eta)]^2*sin(eta)d eta$, cioé:
$int_0^(pi/2) R^3*[1-sin(eta)]^2*sin(eta)d eta$
il volume è negativo perchè ti fa comodo (perchè facendo il differenziale di $cos eta $ ti viene un altro segno meno)? Questa è l'unica domanda (nemmeno troppo importante) che ho da farti, per il resto va tutto benissimo.
Per Desko:
1) Nella soluzione di Kinder si tiene conto del fatto che i cilindri si intersecano perpendicolarmente, infatti lui nota che sezionando il cubo circoscritto alla scultura con un piano parallelo a quello contenente gli assi dei cilindri si ottiene una figura a croce, cosa improbabile se i cilindri non fossero ortogonali.
2) Si, la figura è ottenuta con Cabri 3D (l'avevo già detto nel post con la figura)
3) Il tuo avatar mi sembra di conoscerlo già........
1) Nella soluzione di Kinder si tiene conto del fatto che i cilindri si intersecano perpendicolarmente, infatti lui nota che sezionando il cubo circoscritto alla scultura con un piano parallelo a quello contenente gli assi dei cilindri si ottiene una figura a croce, cosa improbabile se i cilindri non fossero ortogonali.
2) Si, la figura è ottenuta con Cabri 3D (l'avevo già detto nel post con la figura)
3) Il tuo avatar mi sembra di conoscerlo già........
"elgiovo":
Per Desko:
Si, la figura è ottenuta con Cabri 3D (l'avevo già detto nel post con la figura)
"elgiovo":
Il tuo avatar mi sembra di conoscerlo già........
Può essere: non è una creazione mia.
Può essere: non è una creazione mia.
Lo so, lo so, ero ironico...
"elgiovo":
...
Sembra un trapezio, ma è un rettangolo. Infatti la curva $CD$ (che è un quarto della circonferenza risultante dall’intersezione dei due cilindri) ...
il volume è negativo perchè ti fa comodo (perchè facendo il differenziale di $cos eta $ ti viene un altro segno meno)?
1) L'intersezione tra i due cilindri non è una circonferenza, ma un'ellisse, avente assi pari al lato ed alla diagonale del quadrato di lato $2*R$
2) il volume non è negativo. La questione è proprio nel differenziale dy, che ha segno contrario a quello del differenziale dell'angolo, per come l'ho considerato. Quindi l'altezza infinitesima del volume dV è una $dh=-dy$
Anche se hai ragione sull'intersezione, ad ogni modo non ci interessa sapere qual è la sua forma.
Per quanto riguarda il volume, grazie della spiegazione.
Per quanto riguarda il volume, grazie della spiegazione.
beh, Gio che fai?? prima mi sottoponi i problemi e poi li spari sul forum?? guarda che potrei anche offendermi!! 
saluti a tutti
il vecchio
saluti a tutti
il vecchio
Io però volevo farlo senza integrali..... Hehe finora ho visto tre soluzioni diverse (la mia, kinder e vecchio, anche se non è postata) che ne fanno uso..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo