Scatola con infinite palline
Una scatola contiene infinite palline bianche ed una sola pallina rossa. Estraendo una pallina alla volta dalla scatola, per un numero infinito di volte, sarà estratta la pallina rossa prima o poi?
Risposte
Sei ha pazienza, sì ... ma solo se ne hai tanta, tanta ... 
Non vado forte in probabilità, ma non mi pare che questa domandasia ben posta. Con che criterio viene estratta la pallina dalla scatola? In maniera casuale? Se è così bisogna specificare la distribuzione che si sta utilizzando, visto che una distribuzione uniforme su uno spazio discreto di cardinalità infinita non ha senso.
Io non ho ancora capito il concetto di distribuzione. O almeno penso di non averlo capito. Spero.
Nel senso: una volta che ti ho detto che estraggo la pallina e che sono tutte equiprobabili, a cosa serve parlare si distribuzione? (Non è una critica, è una domanda)
Nel caso dell'esercizio io ragionerei così:
Ho $n-1$ palline bianche ed una sola rossa. Estraggo con remissione $n $ volte.
La probabilità di beccare solo palle bianche è $(1-1/n)^n$.
Se la scatola ha infinite palle, è come fare il limite per n grande, da cui la probabilità di beccare la pallina rossa è $lim_{n to +infty} 1-[(1-1/n)^n]=1-1/e $
Nel senso: una volta che ti ho detto che estraggo la pallina e che sono tutte equiprobabili, a cosa serve parlare si distribuzione? (Non è una critica, è una domanda)
Nel caso dell'esercizio io ragionerei così:
Ho $n-1$ palline bianche ed una sola rossa. Estraggo con remissione $n $ volte.
La probabilità di beccare solo palle bianche è $(1-1/n)^n$.
Se la scatola ha infinite palle, è come fare il limite per n grande, da cui la probabilità di beccare la pallina rossa è $lim_{n to +infty} 1-[(1-1/n)^n]=1-1/e $
Non puoi dire che le palline sono tutte equiprobabili se hai infinite palline. Il problema che hai risolto tu è diverso da quello che è stato formulato in origine.
"Vincent46":
Non vado forte in probabilità, ma non mi pare che questa domandasia ben posta. Con che criterio viene estratta la pallina dalla scatola? In maniera casuale? Se è così bisogna specificare la distribuzione che si sta utilizzando, visto che una distribuzione uniforme su uno spazio discreto di cardinalità infinita non ha senso.
In maniera casuale. Per quanto riguarda la distribuzione non saprei rispondere.
"michele_7483":
[quote="Vincent46"]Non vado forte in probabilità, ma non mi pare che questa domandasia ben posta. Con che criterio viene estratta la pallina dalla scatola? In maniera casuale? Se è così bisogna specificare la distribuzione che si sta utilizzando, visto che una distribuzione uniforme su uno spazio discreto di cardinalità infinita non ha senso.
In maniera casuale. Per quanto riguarda la distribuzione non saprei rispondere.[/quote]
Edit:
ciò che manca nel testo è solo l'ipotesi di estrazione Con o Senza reimmissione.
EDIT Nel caso di estrazione con reimmissione la soluzione di kobeilprofeta non considera il caso in cui $ m!=n $.
Nel caso di estrazione senza reimmissione, ovviamente, la probabilità di non estarrre mai la rossa tende a zero essendo tale probabilità
$lim_(n rarr oo)((n-1)!)/(n!) \cdot0=1/n \cdot0=0$
EDIT Nel caso di estrazione con reimmissione la soluzione di kobeilprofeta non considera il caso in cui $ m!=n $.
Nel caso di estrazione senza reimmissione, ovviamente, la probabilità di non estarrre mai la rossa tende a zero essendo tale probabilità
$lim_(n rarr oo)((n-1)!)/(n!) \cdot0=1/n \cdot0=0$
"tommik":
ciò che manca nel testo è solo l'ipotesi di estrazione Con o Senza reimmissione.
EDIT Nel caso di estrazione con reimmissione la soluzione di kobeilprofeta non considera il caso in cui $ m!=n $.
Nel caso di estrazione senza reimmissione, ovviamente, la probabilità di non estarrre mai la rossa tende a zero essendo tale probabilità
$lim_(n rarr oo)((n-1)!)/(n!) \cdot0=1/n \cdot0=0$
Chiedo scusa per l'imprecisione, le palline vengono estratte senza reimmissione e casualmente.
"tommik":
ciò che manca nel testo è solo l'ipotesi di estrazione Con o Senza reimmissione.
EDIT Nel caso di estrazione con reimmissione la soluzione di kobeilprofeta non considera il caso in cui $ m!=n $.
Nel caso di estrazione senza reimmissione, ovviamente, la probabilità di non estarrre mai la rossa tende a zero essendo tale probabilità
$lim_(n rarr oo)((n-1)!)/(n!) \cdot0=1/n \cdot0=0$
il problema che kobe ha risolto è: data una scatola con $n$ palline di cui una e una sola rossa, si effettuino $n$ estrazioni con reimmissione e si dica qual è la probabilità che si sia pescata almeno una volta la pallina rossa; dire poi qual è il limite del valore trovato nel caso in cui $n$ diventi arbitrariamente grande. (che poi, perché proprio $n$ estrazioni? scelta arbitraria)
questo NON vuol dire che il problema abbia senso quando le palline diventano infinite, caso in cui, ripeto, non ha più senso parlare di "estrazione in cui ogni pallina ha la medesima probabilità di essere pescata".
se io ho $n$ palline posso assegnare ad ognuna una probabilità di uscita pari a $1/n$, e questo ha senso perché le probabilità totali sommano a $n * 1/n = 1$, come dev'essere.
se avessi infinite palline e potessi assegnare ad ognuna una probabilità di uscita pari a $p$, allora le probabilità totali sommerebbero a infinite volte $p$, che può essere $0$ oppure $\infty$ a seconda che p sia uguale o maggiore di zero; e questo non ha senso.
Secondo me ti sfugge il fatto che $infty*1/(infty)$ può dare $1$ ... un qualsiasi quoziente fra polinomi dello stesso grado si comporta così ... presupponi che $p$ sia finita invece è un infinitesimo ... IMHO
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