Scacchi e genitori

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Edit:

Sia \( k < n \) dove \(n\) è dispari e \(k\) pari. Mary deve giocare \(n\) partite di scacchi contro i suoi genitori alternando dopo ogni partita l'avversario. Per ricevere la paghetta mensile deve vincere almeno \(k\) partite. Se potesse scegliere contro chi giocare la prima partita, per massimizzare la probabilità di ricevere la paghetta, Mary dovrebbe scegliere il genitore più forte come primo opponente oppure il più debole?

E se dovesse vincere almeno \(k\) partite di seguito?

[gabriella127]

Sì,sì, $(1-p_dp_f)$ è la probabilità che non ha vinto entrambe le partite (le prime due) , e poi dopo contemplo il caso che ha vinto la seconda delle due, se no il gioco non continua. A me fila.

Mi riservo di leggere più tardi la tua spiegazione con le monete, per capire se abbiamo in mente lo stesso problema.

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"gabriella127":

Sì,sì, $(1-p_dp_f)$ è la probabilità che non ha vinto entrambe le partite (le prime due) , e poi dopo contemplo il caso che ha vinto la seconda delle due, se no il gioco non continua. A me fila.

Mi riservo di leggere più tardi la tua spiegazione con le monete, per capire se abbiamo in mente lo stesso problema.

Gabriella...

Non funzionano così le probabilità condizionate! Allora abbiamo che se \(A\) e \(B\) sono eventi e \(A \mid B \) è l'evento \(A\) sapendo che \(B\) è avvenuto allora
\[ \mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \]
Da cui
\[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A \mid B) \mathbb{P}(B). \]

Ora se \( A,B \) sono indipendenti abbiamo che \( \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \) e equivalentemente \( \mathbb{P}(A \mid B) = \mathbb{P}(A)\).


Ora se \( A = \text{ha vinto le ultime due partite} \) e \(B= \text{ha perso almeno una delle prime due partite} \) allora \(A\) e \(B\) non sono indipendenti. Noi vogliamo calcolare questa probabilità
\[ \mathbb{P}(A \cap B) =\mathbb{P}(\text{ha perso la prima e vinto le ultime due}) = \mathbb{P}(A \mid B) \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A \mid B) \cdot (1-p_d p_f) \neq \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \]

Il tuo claim è: \( \mathbb{P}(A \cap B) = (1-p_dp_f) p_fp_d \). Il problema è che è falso perché \( \mathbb{P}(A \mid B) \neq p_fp_d = \mathbb{P}(A)\), siccome \(A\) e \(B\) sono dipendenti (poiché condividono la partita di mezzo)! Per calcolare \( \mathbb{P}(A \mid B)\) devi passare dal evento \( C= \text{ha perso la prima partita} \), ora abbiamo che \(A \) e \(C\) sono indipendenti e inoltre \( \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A \cap C) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(C) \)

\[ \mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} = \frac{P(A \cap C)}{\mathbb{P}(B)} = \frac{\mathbb{P}(C) \cdot \mathbb{P}(A) }{\mathbb{P}(B)} = \frac{(1-p_d) \cdot (p_fp_d)}{1-p_d p_f}\]
da cui
\[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A \mid B) \cdot (1-p_d p_f) = \frac{(1-p_d) \cdot (p_fp_d)}{1-p_d p_f} \cdot (1-p_dp_f) = (1-p_d) \cdot (p_f p_d) \]

Ora siano gli eventi
\( V= \text{ha vinto il gioco} \), \( D=\text{Ha vinto entrambe le prime due partite} \), nota che \( D \cap (A \cap B) = \emptyset \) per cui \(D\) e \( (A \cap B) \) sono disgiunti e abbiamo quindi
\[ \mathbb{P}(V)= \mathbb{P}(D \cup (A \cap B) ) = \mathbb{P}(D) + \mathbb{P}(A \cap B) = p_d \cdot p_f + (1-p_d) \cdot (p_f p_d) \]

se inverti il primo giocatore con cui giocare allora hai
\[ \mathbb{P}(V)= \mathbb{P}(D \cup (A \cap B) ) = \mathbb{P}(D) + \mathbb{P}(A \cap B) = p_d \cdot p_f + (1-p_f) \cdot (p_f p_d) \]

Ora siccome \( p_f < p_d \) allora \( 1-p_f > 1-p_d \) da cui è meglio giocare con il più forte per primo.

Ti ho scritto 10 modi differenti per descrivere la stessa cosa, guarda un po' quale ti conviene di più

[axpgn]

@gabriella127
[ot]Deve essere in pausa didattica, è da un po' che non scriveva così tanto [/ot]

[gabriella127]

Ok 3m0o, sulle probabilità condizionate fooorse hai ragione , mi devo ancora convincre che le probabilità non entrano in modo simetrivo nei due casi, scyasami, è che sto rièpsondendo di fretta, devo avere il tempo dim leggere.

[gabriella127]

Ok, dopo altra riflessione sono arrivata a una formulazione che mi soddisfa, non perché pensavo che tu avessi sbagliato ma c'era qualcosa che non mi quadrava, perché cercavo di vederlo come due partite separate con gli stessi avversari in ordine diverso.
E' vero che non sono separate, ma ce ne è una in comune, ma mi ero fissta con il fatto che ci doveva stare una formulazione in cui entrava l'evento certo e si parlava di due partite, e ora l'ho trovata.
Ti risparmio per pietà, e per evitare che mi lanci pomodori, la spiegazione di questa formulazione, ma il risultato è lo stesso del tuo.
Grazie per la pazienza , è che io quando mi fisso che devo fare una cosa che mi sembra possibile divento insopportabile finché non ci riesco. Sei autorizzato a darmi martellate in testa

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"axpgn":@gabriella127
[ot]Deve essere in pausa didattica, è da un po' che non scriveva così tanto [/ot]

"gabriella127":

Ok, dopo altra riflessione sono arrivata a una formulazione che mi soddisfa, non perché pensavo che tu avessi sbagliato ma c'era qualcosa che non mi quadrava, perché cercavo di vederlo come due partite separate con gli stessi avversari in ordine diverso.
E' vero che non sono separate, ma ce ne è una in comune, ma mi ero fissta con il fatto che ci doveva stare una formulazione in cui entrava l'evento certo e si parlava di due partite, e ora l'ho trovata.
Ti risparmio per pietà, e per evitare che mi lanci pomodori, la spiegazione di questa formulazione, ma il risultato è lo stesso del tuo.
Grazie per la pazienza , è che io quando mi fisso che devo fare una cosa che mi sembra possibile divento insopportabile finché non ci riesco. Sei autorizzato a darmi martellate in testa

Fiuuuu