Sangaku

[axpgn]

Un triangolo equilatero è inscritto in un cerchio di raggio $50$ unità.
Nel cerchio c'è un altro triangolo equilatero, più piccolo del precedente, il quale ha due vertici sulla circonferenza ed il terzo sul punto medio di un lato del triangolo grande ed inoltre condividono un asse di simmetria.

Quanto vale il lato del triangolo piccolo?


Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Vediamo se ho fatto giusto...

Se $bar{DP}=50$ allora $bar{PA}=25$ (perché in un triangolo equilatero altezze, mediane, bisettrici e assi coincidono e il baricentro divide le mediane in due parti, l'una lunga il doppio dell'altra). L'angolo $\hat{PAB}$ è evidentemente uguale a $150°$ (perché supplementare a mezzo angolo di $60°$)

Applicando il teorema del coseno:

$\bar{PB}=\sqrt(\bar{PA}^2+\bar{AB}^2-2bar{PA}\cdot\bar{AB}cos(150))$

Metto $bar{AB}=x$


$50=\sqrt(625+x^2+25\sqrt(3)x)$


$x^2+25\sqrt(3)x-1875=0$

Risolvo e ottengo $(25\sqrt(3))(\sqrt(5)-1)/2$ (unica soluzione positiva)

[axpgn]

Senza scomodare la trigonometria, detto $r$ il raggio del cerchio, sappiamo che $PB=r$ e $PA=r/2$, per cui, usando il teorema di Pitagora, abbiamo $r^2=(r/2+sqrt(3)/2q)^2+(q/2)^2$ e quindi $q=((sqrt(15)-sqrt(3))/4)r=26.7$

Cordialmente, Alex