Ruffini

[Pachito1]

Dimostrare, se è possibile, che:

dati a e b numeri interi primi tra loro, l'uguaglianza

a/b+b/a=I Con I un numero intero

non è mai verificata.

[Maverick2]

riscriviamo passo passo:

a/b+b/a = (a^2+b^2)/ab = ((a+b)^2-2ab)/ab = I

quindi

(a+b)^2/ab=I* numero intero (I*=I+2)

quindi

(a+b)(a+b)/ab dovrebbe essere un intero, ma è impossibile banalmente perchè se a e b sono primi fra loro allora (a+b)

Cita

Segnala

[Pachito1]

citazione:

---

se a e b sono primi fra loro allora (a+b)

Per a e b diversi da 1 questo è sempre verificato.

citazione:

---

quindi ab non può essere divisore di a+b

---

OK.

citazione:

---

e neanche di (a+b)^2.

---

Perchè? Per a e b diversi da 1 è sempre verificato
(a+b)^2 > ab

Faccio un esempio con a=b (non dovrei in questo caso)

2a/a^2 = 2/a non intero per a>2
(2a)^2/a^2 = 4 qualunque a.

Specifica perchè se a e b son primi tra loro ab non può essere divisore di (a+b)^2.

[Principe2]

riprendo da (a+b)^2/ab - 2; che è intero solo se (a+b)^2/ab è intero.
ora, se a e b fossero entrambi pari, allora non sarebbero primi tra loro, ne consegue che almeno uno di essi è dispari.
supponiamo lo sia uno solo, allora ab è pari, mentre (a+b)^2 è dispari; pertanto la frazione non può generare un intero.
d'altra parte, se fossero entrambi dispari, allora ab sarebbe dispari, mentre (a+b)^2 sarebbe pari; quindi, neanche in questo caso, la frazione genera un intero. in conclusione l'equaglianza a/b + b/a = I, con I intero, non è mai verificata.

ciao, ubermensch

[Maverick2]

un attimo, mi accorgo di aver scritto una dimostrazione frettolosa oltre che sbagliata.
intanto faccio notare a uber che pari/dispari genera interi (6/3=2)

allora, a e b sono due numeri che possono essere scritti come prodotto fra numeri primi ciascuno con un certo esponente. questi esponenti saranno pari o dispari, perciò raccogliamo i fattori con esponente dispari in un termine h e quelli con esp. pari in un termine k^2.

possiamo quindi scrivere:
a=h1*k1^2
b=h2*k2^2

ab=h1*h2*k1^2*k2^2

affinchè ab sia divisore di (a+b)^2 deve essere che il termine a+b deve essere multiplo di h1h2 (perchè se non lo fosse i fattori con esponente dispari non sarebbero equidistribuiti nei due fattori (a+b)(a+b))
inoltre a+b deve anche essere multiplo di k1*k2
quindi a+b è della forma n*h1*h2*k1*k2


non so ancora come concludere la dimostrazione, ma secondo me la strada è questa...

[Principe2]

brrr che erroraccio!! maledetta fretta: siamo in due!

[Maverick2]

stavolta ci sono, dimostrazione facile ed elegante.
dimenticate quello che ho detto prima.
partiamo da a^2+b^2=Iab

risolvendo per esempio rispetto ad a troviamo

a=1/2*(Ib+-b*sqrt(I^2-4))

quindi raccogliendo

a=b/2*(I+-sqrt(I^2-4))

quindi deve essere sqrt(I^2-4)=n con n numero intero

quindi I^2-4=n^2
quindi (I+n)(I-n)=4 ma questo è impossibile con I ed n numeri interi (si verifica facilmente infatti la loro somma e la loro differenza devono essere o entrambe 2 oppure una 4 e l'altra 1 ma entrambi i casi sono impossibili)

[Pachito1]

Facile, elegante e aggiungerei piuttosto fantasiosa, complimenti.
Peccato che sia errata anche questa.
Avresti in definitiva dimostrato che a^2+b^2=Iab non è mai verificata. Invece se prendo a=b....
Ricordate che va necessariamente utilizzata l'ipotesi che a e b siano primi tra loro.



Modificato da - pachito il 08/03/2004 20:46:52

[Sk_Anonymous]

Vedete se va bene questa.
Riduciamo a forma intera:
a^2+b^2=abI
oppure:
a^2=b(aI-b)
Se dunque fosse verificata l'eguaglianza ne
seguirebbe che b,dividendo a^2,dovrebbe dividere a e cio'e' contro l'ipotesi.
karl.

[Maverick2]

scusa non capisco dove sia l'errore. a=b non può essere perchè tu stesso dici che sono primi fra loro...

per karl: 9 divide 36 ma non divide 6...

tra l'altro cmq io non ho dimostrato che a^2+b^2=Iab non è mai verificato, ma semplicemente che le soluzioni intere dell'equazione non rientrano nelle ipotesi del problema.

in definitiva questo quesito chiede di trovare le soluzioni intere di un'equazione diofantea (per qualche spunto consultare "la bellezza della matematica" di Serge Lang) e se non erro esse sono sempre un numero finito. in questo caso non ce ne sono del tipo "a e b primi fra loro".

Modificato da - Maverick il 08/03/2004 21:01:55

[Sk_Anonymous]

Modifico cosi il mio ragionamento.
Dalla relazione a^2=b(aI-b)
si ricava:
a*a/b=aI-b=intero
Ora essendo a e b coprimi il rapporto a*a/b
non puo' essere intero.Insomma se a b non hanno
fattori comuni non possono averli nemmeno a*a e b.
Portatemi qualche controesempio e mi convincero' del contrario.
L'errore di Maverick e' quello di prendere
6 e 9 che non sono coprimi.
Almeno credo.
karl.



Modificato da - karl il 08/03/2004 21:16:41

[Pachito1]

Ok Karl. Il primo passo è fatto.
Nessuno si è chiesto cosa c'entra Ruffini in tutto ciò?
Ebbene :

Sia x^2 + bx + c un polinomio di secondo grado a coefficienti interi.

Dimostrare che se le soluzioni non sono divisori interi di c (Ruffini), allora queste non sono nemmeno numeri razionali.

Estendere poi al caso ax^2 + bx + c (può avere soluzioni razionali, ma...) e infine generalizzare al caso ax^n + bx^n-1 + cx^n-2+....+k


In sostanza dimostrare che se abbiamo un polinomio a coefficienti interi (come spesso accade negli esercizi) possiamo evitare il disturbo di cercare soluzioni razionali.

[Pachito1]

citazione:

---

scusa non capisco dove sia l'errore. a=b non può essere perchè tu stesso dici che sono primi fra loro...

---

Per l'appunto. La tua dimostrazione sarebbe valida anche senza questa ipotesi e ciò non è vero.

[Maverick2]

perdonami pachito ma continuo a non essere d'accordo.
intanto non mi hai mostrato l'errore della mia dimostrazione ma ti sei limitato a dire che "non può essere vera".
per ogni problema non esiste una sola dimostrazione...

cmq ti ripeto: la mia domostrazione non è sempre valida.
d'altronde mi rendo conto che non è completa. perciò ripartiamo da

a=1/2*(Ib+-b*sqrt(I^2-4))

quindi

2a=Ib+-b*sqrt(I^2-4)

quindi

2a/b=I+-sqrt(I^2-4)

a questo punto sfruttiamo l'ipotesi su a e b che essendo coprimi hanno un rapporto appartenente a Q e cmq non intero.

l'altro membro dell'equazione è invece la somma tra un intero e un intero oppure un irrazionale, quindi NON UN RAZIONALE. (infatti sqrt(n) con n intero è o un intero o un irrazionale)

siamo arrivati ad un assurdo, spero questa volta convincente.





Modificato da - Maverick il 08/03/2004 23:36:19

[Sk_Anonymous]

Se non ho capito male,si tratta di dimostrare
che le eventuali radici razionali (in particolare intere) di un
polinomio della forma A0*x^n+A1*x^(n-1)+...+A(n-1)*x+An
sono tutte e solo quelle del tipo p/q con p divisore di An e q divisore di A0.
Questo teorema e' abbastanza noto e per dimostrarlo e' sufficiente
porre nel polinomio ,eguagliato a zero,x=p/q e poi ragionare su
p^n e q^n.Questa dimostrazione,comunque, puo' prescindere da quello che si e' precedentemente detto su a/b+b/a=I.
karl.




Modificato da - karl il 10/03/2004 09:36:52

Modificato da - karl il 11/03/2004 13:49:04

[tony19]

Pachito, proponevi

*quote:

---

... In sostanza dimostrare che se abbiamo un polinomio a coefficienti interi (come spesso accade negli esercizi) possiamo evitare il disturbo di cercare soluzioni razionali.

---

scusa, secondo me quel disturbo è doveroso!
(o forse non capisco la tua frase)
tony

[Pachito1]

Un attimo di pazienza e rispondo a tutti e tre.

[Pachito1]

X Maverick
La tua ultima dimostrazione va bene; mi sembrava di aver capito qualcos'altro in quella precedente.

X Tony
Se ho un polinomio del tipo a·x^3 + b·x^2 + c·x + d con coefficienti interi
se a=1 non ho soluzioni razionali ma al più intere (Ruffini)
se a1 le soluzioni sono del tipo del tipo p/q con p divisore di d e q divisore di a.

X Karl
Devo aver scoperto l'acqua calda attraverso la fusione nucleare.
Certamente non ci sarà un unico modo per dimostrare la tesi ,tuttavia non ho compreso a fondo la soluzione che hai proposto, puoi specificare?
In particolare

citazione:

---

sono tutte e solo quelle del tipo p/q

---

In generale le soluzioni saranno reali, cosa intendi per tutte e solo?

[Sk_Anonymous]

Non mi riferivo a tutte le soluzioni (reali) ma a quelle
razionali ( o intere) .Queste ,se esistono, devono
necessariamente essere del tipo p/q con p divisore di An
e q divisore di A0.La dimostrazione si trova in un qualunque
buon testo di algebra (eventualmente alla voce "Regola di
Ruffini").Naturalmente e' possibile che vi siano piu' dimostrazioni,
compresa quella a cui tu forse ti riferisci.
Saluti da karl.

[tony19]

scusa Pachito, è difficile spiegarsi per iscritto in un forum.
(scrivi che quivi est perfecto et interessante exercitio)

non ho ancora capito se la tua ultima frase

*quote:

---

X Tony
...se a =/= 1 le soluzioni sono del tipo del tipo p/q con p divisore di d e q divisore di a. [Pachito]

---

che coincide con una mia vecchia convinzione personale, annulli, confermi,
rafforzi o che altro la tua frase che ti contestavo col mio post precedente:

*quote:

---

... In sostanza dimostrare che se abbiamo un polinomio a coefficienti interi (come spesso accade negli esercizi) possiamo evitare il disturbo di cercare soluzioni razionali. [Pachito]

---

a me parrebbe che la annulli, andando a concordare con la mia (che mi pareva
platealmente ovvia, e arcinota ad alcuni studenti delle medie) conclusione

*quote:

---

scusa, secondo me quel disturbo è doveroso! [tony]

---

in poche parole, per favore, Pachito, oltre ad aggiungere nuove e sempre più lucide spiegazioni,
fammi anche capire se smentisci o confermi la frase che ti contestavo
(sai, mi serve, avevo fatto una consistente scommessa con Bortolo).

grazie (e gli altri mi perdonino la diatriba).
tony


*Edited by - tony on 12/03/2004 23:33:28

[Pachito1]

Spero di riuscire ad essere più chiaro.

Sia ax^n + bx^n-1 + cx^n-2+....+k
Nel caso a=1 non ci sono soluzioni razionali, mai.

citazione:

---

Estendere poi al caso ax^2 + bx + c (può avere soluzioni razionali, ma...)

---

Il 'può avere soluzioni razionali, ma...' era riferito al fatto che pur essendoci soluzioni razionali, nel caso a1 esse possono essere solo della forma p/q con q divisore di a e quindi

citazione:

---

possiamo evitarci il disturbo di cercare (altre) soluzioni razionali (a caso).

---