Riducibilità dei polinomi in Z e Q

yurifrey
Sia P un polinomio a coefficienti in Z.
Si dimostri che se P non è riducibile in Z allora non è riducibile in Q.

Io avevo iniziato così:
Dire che se P non è riducibile in Z allora non è riducibile in Q equivale a dire che se P è riducibile in Q allora è riducibile in Z.
Dunque siano A[X] e B[X] i due polinomi in Q che scompongono P abbiamo:
$P[X]=A[X]B[X]$.
Questo può essere riscritto:
$P[X]=A'[X]B'[X].\frac{1}{\alpha}$, dove $\alpha$ è il prodotto di tutti i denominatori e A' e B' sono dunque a coefficienti in Z.
$\alpha.P[X]=A'[X]B'[X]$.
A questo punto basta dimostrare che $\alpha$ divide o A' o B' per arrivare alla conclusione che P si riduce in Z.
Qualcuno mi può aiutare a completare questa dimostrazione?
grazie

Risposte
TomSawyer1
E' il celeberrimo Lemma di Gauss, cioe' la conseguenza del fatto che il prodotto di due polinomi primitivi (cioe' il $\gcd$ dei suoi coefficienti e' $1$) e' a sua volta primitivo.
Sia $f(x)$ un polinomio primitivo e riducibile su $QQ$. Allora esistono $h(x)$ e $g(x)$ in $QQ$ tali che $f(x)=g(x)*h(x)$. Esistono $a,b \in QQ$ tali che sia $a*g(x)$ sia $b*h(x)$ sono in $ZZ$ e primitivi. Quindi, tenendo conto che il prodotto di due polinomi primitivi e' anch'esso primitivo, abbiamo $(a*g(x))(b*h(x))=ab*f(x)$. Quindi $a,b=\pm 1$, cioe' $f(x)$ e' riducibile sugli interi.

yurifrey
Grazie.
Non conoscevo il teorema secondo cui il prodotto di due polinomi primitivi è anch'esso primitivo (che fra l'altro non mi sembra difficile da dimostrare). Ora ho capito.

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