Riducibilità dei polinomi.
Si consideri il polinomio
$x^4+x^3+x^2+x+1$
a- Si dimostri che non ha radici reali.
b- Si scriva il polinomio come prodotto di fattori non riducibili nel campo dei reali.
c- Si dimostri che il polinomio è irriducibile nel campo dei numeri razionali.
$x^4+x^3+x^2+x+1$
a- Si dimostri che non ha radici reali.
b- Si scriva il polinomio come prodotto di fattori non riducibili nel campo dei reali.
c- Si dimostri che il polinomio è irriducibile nel campo dei numeri razionali.
Risposte
Ciao Giuesppe,anche tu stai provando a catania?Questo esercizio l'ho risolto così:
a)è una serie geometrica,basta applicare la formula
b)dividi e moltiplica per x^2,hai $x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2$
c)si dimostra col punto b
Invece quel quesito sulla funzione unaria come l'hai fatto?
a)è una serie geometrica,basta applicare la formula
b)dividi e moltiplica per x^2,hai $x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2$
c)si dimostra col punto b
Invece quel quesito sulla funzione unaria come l'hai fatto?
Non l'ho fatto proprio quel quesito sulla funzione unaria perchè non so neanche cosa sia...a proposito, se te lo ricordi potresti postarlo così vediamo se lo sa fare qualcuno?
Oggi comunque i quesiti di fisica erano abbastanza semplici...
Oggi comunque i quesiti di fisica erano abbastanza semplici...
Dovrebbe essere questa.
Sia f una funzione unaria ed R una relazione binaria. Quale delle seguenti proposizioni è vera in ogni modello?
$(AAx((EEy R(x,y)->R(x,f(x)))$
$(AAx((EEy R(x,y)larrR(x,f(x)))$
Qualcuno potrebbe spiegare che significano queste proposizioni?
NB: tutto mi potevo aspettare tranne un quesito del genere, sai se l'ha fatto qualcuno?
Sia f una funzione unaria ed R una relazione binaria. Quale delle seguenti proposizioni è vera in ogni modello?
$(AAx((EEy R(x,y)->R(x,f(x)))$
$(AAx((EEy R(x,y)larrR(x,f(x)))$
Qualcuno potrebbe spiegare che significano queste proposizioni?
NB: tutto mi potevo aspettare tranne un quesito del genere, sai se l'ha fatto qualcuno?
"giuseppe87x":
Dovrebbe essere questa.
Sia f una funzione unaria ed R una relazione binaria. Quale delle seguenti proposizioni è vera in ogni modello?
$(AAx((EEy R(x,y)->R(x,f(x)))$
$(AAx((EEy R(x,y)larrR(x,f(x)))$
Qualcuno potrebbe spiegare che significano queste proposizioni?
Be', il quesito è banale... La seconda proposizione è sempre vera. Insomma, basta leggere la formula.. Essa dice semplicemente che, per ogni x, se x è in relazione con f(x), allora esiste y tale che x è in relazione con y (in questo caso, y=f(x)), il che è ovviamente sempre vero.
Scusa fields ma qual è la definizione di funzione unaria e di relazione binaria?
Siano $A$ e $B$ insiemi. Una relazione binaria $R$ su $A,B$ è un sottoinsieme di $A xx B$.
Una funzione unaria $f: A\rightarrow B$ è una relazione binaria su $A,B$, tale che per ogni $a\in A$ esiste $y\in B$ tale che $(a,y)\in f$; inoltre $(a,b)\in f$ e $(a,c)\in f$ implica $b=c$. Si scriverà $f(x)=y$ sse $(x,y)\in f$.
Una funzione unaria $f: A\rightarrow B$ è una relazione binaria su $A,B$, tale che per ogni $a\in A$ esiste $y\in B$ tale che $(a,y)\in f$; inoltre $(a,b)\in f$ e $(a,c)\in f$ implica $b=c$. Si scriverà $f(x)=y$ sse $(x,y)\in f$.
Ok grazie fields. Comunque quel polinomio ridotto verrebbe così:
$(x^2 + x·(1/2 - sqrt5/2) + 1)·(x^2 + x·(sqrt5/2 + 1/2) + 1)$
Qualcuno ci sa arrivare?
$(x^2 + x·(1/2 - sqrt5/2) + 1)·(x^2 + x·(sqrt5/2 + 1/2) + 1)$
Qualcuno ci sa arrivare?
C'entra qualcosa la sezione aurea nella tua scomposizione? Molto carina 
ehm...non è mia purtroppo ma di derive.
"giuseppe87x":
Comunque quel polinomio ridotto verrebbe così:
$(x^2 + x·(1/2 - sqrt5/2) + 1)·(x^2 + x·(sqrt5/2 + 1/2) + 1)$
Qualcuno ci sa arrivare?
Io avrei ragionato così. Il polinomio in questione non ha radici reali, dunque se è divisibile per un polinomio, esso deve essere di secondo grado. Dunque il polinomio dovrà scriversi come
$(x^2+ax+c)(x^2+bx+c^(-1))=x^4+x^3+x^2+x+1$.
Svolgendo i calcoli otteniamo
$x^4+(a+b)x^3+(c^(-1)+ab+c)x^2+(ac^(-1)+bc)x+1=x^4+x^3+x^2+x+1$
Applicando il principio di identità dei polinomi, otteniamo
${(a+b=1), (c^(-1)+ab+c=1), (ac^(-1)+bc=1):}$
Osservando che deve essere $a+b=ac^(-1)+bc$, poniamo $c=1$
Rimane allora il sistema
${(a+b=1), (1+ab+1=1):}$
Risolvendolo otteniamo $b=(1+sqrt5)/2$ e $a=(1-sqrt5)/2$, e dunque troviamo i coefficienti dei polinomi fattori.
Grande Fields, 
Grazie!
Grazie!
Da un punto di vista piu' tecnico (per cosi' dire) la questione si puo' risolvere cosi'.
L'equazione si scrive anche al seguente modo:
$(x^5-1)/(x-1)=0$
Da cio' si vede che le radici non sono altre che le radici quinte
dell'unita' diverse da 1.
Ora tali radici sono :
$x_k=cos((2pik)/5)+jsin((2pik)/5),k=1,2,3,4$
Esse sono tutte immaginarie e con cio' si e' risposto alla (a).
Tali radici ,a due a due coniugate, sono:
$x_1,x_4=cos72°+-jsin72°=sin18°+-jcos18°=(sqrt5-1)/4+-jsqrt(10+2sqrt5)/4$
$x_2,x_3=cos144°+-jsin144°=-cos36+-jsin36°=-(sqrt5+1)/4+-jsqrt(10-2sqrt5)/4$
Il polinomio si scompone cosi':
(1) $P(x)=[(x-x_1)(x-x_4)][(x-x_2)(x-x_3)]$
e con questo si risponde alla (c) dato i fattori della (1) non sono razionali
nemmeno moltiplicandoli a due a due.
Tenendo conto dei valori indicati delle radici e moltiplicando opportunamente
i fattori in ciascuna parentesi quadra,si ritrovano i risultati gia' indicati
da fields e cio' risponde alla (b).
karl
L'equazione si scrive anche al seguente modo:
$(x^5-1)/(x-1)=0$
Da cio' si vede che le radici non sono altre che le radici quinte
dell'unita' diverse da 1.
Ora tali radici sono :
$x_k=cos((2pik)/5)+jsin((2pik)/5),k=1,2,3,4$
Esse sono tutte immaginarie e con cio' si e' risposto alla (a).
Tali radici ,a due a due coniugate, sono:
$x_1,x_4=cos72°+-jsin72°=sin18°+-jcos18°=(sqrt5-1)/4+-jsqrt(10+2sqrt5)/4$
$x_2,x_3=cos144°+-jsin144°=-cos36+-jsin36°=-(sqrt5+1)/4+-jsqrt(10-2sqrt5)/4$
Il polinomio si scompone cosi':
(1) $P(x)=[(x-x_1)(x-x_4)][(x-x_2)(x-x_3)]$
e con questo si risponde alla (c) dato i fattori della (1) non sono razionali
nemmeno moltiplicandoli a due a due.
Tenendo conto dei valori indicati delle radici e moltiplicando opportunamente
i fattori in ciascuna parentesi quadra,si ritrovano i risultati gia' indicati
da fields e cio' risponde alla (b).
karl
Ottima la tua soluzione Karl. 
Io avevo fatto così:
$P(x)=x^2(x^2+1/x^2+x+1/x+1)=x^2((x+1/x)^2+x+1/x-1)=x^2(x+1/x+(1+sqrt5)/2)(x+1/x+(1-sqrt5)/2)=(x^2 +(1 + sqrt5)/2x + 1)(x^2 + (1-sqrt5)/2x + 1)$
$P(x)=x^2(x^2+1/x^2+x+1/x+1)=x^2((x+1/x)^2+x+1/x-1)=x^2(x+1/x+(1+sqrt5)/2)(x+1/x+(1-sqrt5)/2)=(x^2 +(1 + sqrt5)/2x + 1)(x^2 + (1-sqrt5)/2x + 1)$
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