Regioni
Ho cercato negli argomenti precedenti ma non ho trovato nessun argomento che trattasse per bene questo problema, anche se penso sia piuttosto standard.
Dati $n$ piani nello spazio, qual è il massimo numero di regioni di spazio (anche illimitate) che si vengono a individuare?
Se vi sembra difficile vi suggerisco di risolvere prima questi uno dopo l'altro:
Dati $n$ punti su una retta, qual è il massimo numero di regioni di retta (segmenti e semirette) che si vengono a indivduare? (banale xD)
Date $n$ rette su un piano, qual è il massimo numero di regioni di piano che si vengono a creare?
EDIT (precisazione necessaria): le regioni sono da considerare in modo tale che due regioni diverse non abbiano mai punti in comune.
EDIT: aggiungo degli esempi per eliminare ogni possibilità (spero) di ambiguità:
Esempio per il problema delle rette sul piano: se si usano 4 rette messe in modo tale che esista un quadrato i cui lati appartengono ognuno a una di quelle rette, si ottengono 9 regioni di piano.
Esempio per il problema dei piani nello spazio: se si usano 6 piani in modo tale che esista un cubo le cui faccie appartengono ognuna a uno di quei piani, si ottengono 27 regioni di spazio.
Dati $n$ piani nello spazio, qual è il massimo numero di regioni di spazio (anche illimitate) che si vengono a individuare?
Se vi sembra difficile vi suggerisco di risolvere prima questi uno dopo l'altro:
Dati $n$ punti su una retta, qual è il massimo numero di regioni di retta (segmenti e semirette) che si vengono a indivduare? (banale xD)
Date $n$ rette su un piano, qual è il massimo numero di regioni di piano che si vengono a creare?
EDIT (precisazione necessaria): le regioni sono da considerare in modo tale che due regioni diverse non abbiano mai punti in comune.
EDIT: aggiungo degli esempi per eliminare ogni possibilità (spero) di ambiguità:
Esempio per il problema delle rette sul piano: se si usano 4 rette messe in modo tale che esista un quadrato i cui lati appartengono ognuno a una di quelle rette, si ottengono 9 regioni di piano.
Esempio per il problema dei piani nello spazio: se si usano 6 piani in modo tale che esista un cubo le cui faccie appartengono ognuna a uno di quei piani, si ottengono 27 regioni di spazio.
Risposte
Azzardatissimo.... ci provo lo stesso:
Tranne per i punti sulla retta, sugli altri non ci siamo...
Comunque sarebbe meglio mettere pure i ragionamenti!
Comunque sarebbe meglio mettere pure i ragionamenti!
Non sono molto d'accordo sui punti sulla retta, magari però sbaglio io.
Espongo il mio ragionamento in attesa di correzioni.
Allora se ho un punto sulla retta essa risulta divisa in due semirette, quindi 2 regioni
Se ho due punti distinti $A$ e $B$, riconosco il segmento $AB$, due semirette adiacenti aventi origine in $A$e altre due semirette adiacenti aventi origine in $B$, in totale 5 regioni
Se i punti distinti sono 3 $A$, $B$ e $C$, riconosco tre segmenti $AB$, $BC$ e $AC$ e due semirette per ciascun punto, in totale 9 regioni
e così via.
Espongo il mio ragionamento in attesa di correzioni.
Allora se ho un punto sulla retta essa risulta divisa in due semirette, quindi 2 regioni
Se ho due punti distinti $A$ e $B$, riconosco il segmento $AB$, due semirette adiacenti aventi origine in $A$e altre due semirette adiacenti aventi origine in $B$, in totale 5 regioni
Se i punti distinti sono 3 $A$, $B$ e $C$, riconosco tre segmenti $AB$, $BC$ e $AC$ e due semirette per ciascun punto, in totale 9 regioni
e così via.
E' vero, mi sono spiegato male! Come regioni si devono essere considerare solo quelle DISGIUNTE tra loro.
Mi scuso per l'ambiguità... (però sarebbe interessante anche il problema come inteso da gio73...)
Mi scuso per l'ambiguità... (però sarebbe interessante anche il problema come inteso da gio73...)
Bene allora provo a mettere in corrispondenza il numero dei punti con il numero delle regioni che si riescono a individuare
$1 -> 2$
$2 -> 5= 2+3$
$3 -> 9= 5+4$
$4 -> 14=9+5$
....
$1 -> 2$
$2 -> 5= 2+3$
$3 -> 9= 5+4$
$4 -> 14=9+5$
....
Scusa ma non riesco a capirti.
Per quale motivo si formerebbero 5 regioni se si posizionano solo 2 punti?
Guarda che la soluzione al primo "problemino" (se si può definirlo così, per quanto è banale) è chiaramente $n+1$
Per esempio con 2 punti si ottiene una cosa del genere:
____._____.______
E come vedi la retta viene divisa in 3 parti disgiunte.
Forse sono io che non ho usato termini molto corretti (vi prego correggetemi se ve ne accorgete) ma ho l'impressione che ancora non siamo d'accordo su cosa contare.
Per quale motivo si formerebbero 5 regioni se si posizionano solo 2 punti?
Guarda che la soluzione al primo "problemino" (se si può definirlo così, per quanto è banale) è chiaramente $n+1$
Per esempio con 2 punti si ottiene una cosa del genere:
____._____.______
E come vedi la retta viene divisa in 3 parti disgiunte.
Forse sono io che non ho usato termini molto corretti (vi prego correggetemi se ve ne accorgete) ma ho l'impressione che ancora non siamo d'accordo su cosa contare.
No, gio73 ha risolto il problema come lo aveva inteso lui trovando la relazione di ricorrenza \(\begin{array}{ll}a_1 = 2\\ a_n = a_{n-1}+n+1\end{array}\) dove $n$ è il numero di punti sulla retta (almeno per come sembra che sia)
Ah allora è giusto... anche se a questo punto suggerirei (nella versione di gio73) di considerare come possibile regione anche l'intera retta.
E poi sarebbe carino mettere anche una bella formuletta chiusa in funzione di $n$ (non che ci voglia molto, una volta trovata la ricorsione!)
PS: Per favore, scrivete su ogni post quale versione state risolvendo, altrimenti si crea confusione...
E poi sarebbe carino mettere anche una bella formuletta chiusa in funzione di $n$ (non che ci voglia molto, una volta trovata la ricorsione!)
PS: Per favore, scrivete su ogni post quale versione state risolvendo, altrimenti si crea confusione...
Per quanto riguarda la formula chiusa in funzione di $n$ per la relazione di ricorrenza di prima, si nota semplicemente sostituendo nei primi termini di $a_n$ che è $a_n = a_1 + \sum_{i=3}^(n+1) i$. D'altra parta questa è una sommatoria particolare \(\displaystyle\left(\sum_{i=m}^{n} i = \frac{(n-m+1)(n+m)}{2}\right)\)che può essere scritta nel modo seguente:
$a_n = a_1 + \sum_{i=3}^(n+1) i = 2 + ((n+1-3+1)(n+1+3))/2 = (4+(n-1)(n+4))/2 = (4 + n^2 + 3n - 4)/2 = (n^2+3n)/2$.
Infatti
$a_2 = 2 + 2 + 1\ \text[con la relazione di ricorrenza] = (2^2 + 6)/2\ \text[con la formula chiusa] = 5$
$a_3 = 5 + 3 + 1\ \text[con la relazione di ricorrenza] = (3^2 + 9)/2\ \text[con la formula chiusa] = 9$
$a_4 = 9 + 4 + 1\ \text[con la relazione di ricorrenza] = (4^2 + 12)/2\ \text[con la formula chiusa] = 14$
ecc.
Quindi posso sapere facilmente che se ci sono 100 punti su una retta posso individuare $5150$ regioni non necessariamente disgiunte.
Ma ora passiamo al problema originale:
[list=1]
[*:2mypi8cc]Dati $n$ punti sulla retta, il massimo numero di regioni di retta disgiunte che si possono individuare è sempre pari a $n+1$. Infatti si può individuare una semiretta alla sinistra del punto più a sinistra, una semiretta alla destra del punto più a destra, e $n-1$ segmenti tra i punti. Il totale è proprio $1 + 1 + (n-1) = n+1$.
[/*:m:2mypi8cc]
[*:2mypi8cc]Per quanto riguarda il secondo problema, vediamo il numero massimo di regioni di piano che si riescono a individuare con $n$ rette:
$$\begin{array}{lllllll}a_1 = 2 \\ a_2 = 4 \\ a_3 = 7 \\ a_4 = 11 \\ a_5 = 16 \\ \vdots \\ a_n = a_1 + \sum_{i=2}^{n} i \end{array}$$
Allo stesso modo di prima possiamo riscrivere la sommatoria come:
$a_n = a_1 + (n-2+1)(n+2)/2 = 2 + (n-1)(n+2)/2 = (4 + n^2 +n - 2) /2 = (n^2 + n)/2 + 1$.
Si ottiene che date n rette su un piano, il massimo numero di regioni di piano che si vengono a creare è pari a $(n^2 + n)/2 + 1$.[/*:m:2mypi8cc][/list:o:2mypi8cc]
Sperando di avere risolto correttamente questi primi 2, lascio l'ultimo a qualcun altro (solo perché non ho tempo al momento).
$a_n = a_1 + \sum_{i=3}^(n+1) i = 2 + ((n+1-3+1)(n+1+3))/2 = (4+(n-1)(n+4))/2 = (4 + n^2 + 3n - 4)/2 = (n^2+3n)/2$.
Infatti
$a_2 = 2 + 2 + 1\ \text[con la relazione di ricorrenza] = (2^2 + 6)/2\ \text[con la formula chiusa] = 5$
$a_3 = 5 + 3 + 1\ \text[con la relazione di ricorrenza] = (3^2 + 9)/2\ \text[con la formula chiusa] = 9$
$a_4 = 9 + 4 + 1\ \text[con la relazione di ricorrenza] = (4^2 + 12)/2\ \text[con la formula chiusa] = 14$
ecc.
Quindi posso sapere facilmente che se ci sono 100 punti su una retta posso individuare $5150$ regioni non necessariamente disgiunte.
Ma ora passiamo al problema originale:
[list=1]
[*:2mypi8cc]Dati $n$ punti sulla retta, il massimo numero di regioni di retta disgiunte che si possono individuare è sempre pari a $n+1$. Infatti si può individuare una semiretta alla sinistra del punto più a sinistra, una semiretta alla destra del punto più a destra, e $n-1$ segmenti tra i punti. Il totale è proprio $1 + 1 + (n-1) = n+1$.
[/*:m:2mypi8cc]
[*:2mypi8cc]Per quanto riguarda il secondo problema, vediamo il numero massimo di regioni di piano che si riescono a individuare con $n$ rette:
$$\begin{array}{lllllll}a_1 = 2 \\ a_2 = 4 \\ a_3 = 7 \\ a_4 = 11 \\ a_5 = 16 \\ \vdots \\ a_n = a_1 + \sum_{i=2}^{n} i \end{array}$$
Allo stesso modo di prima possiamo riscrivere la sommatoria come:
$a_n = a_1 + (n-2+1)(n+2)/2 = 2 + (n-1)(n+2)/2 = (4 + n^2 +n - 2) /2 = (n^2 + n)/2 + 1$.
Si ottiene che date n rette su un piano, il massimo numero di regioni di piano che si vengono a creare è pari a $(n^2 + n)/2 + 1$.[/*:m:2mypi8cc][/list:o:2mypi8cc]
Sperando di avere risolto correttamente questi primi 2, lascio l'ultimo a qualcun altro (solo perché non ho tempo al momento).
Bravo, tutti i risultati che hai trovato sono corretti 
Però sarebbe interessante (oltre al lavoro fatto dopo aver trovato la ricorrenza, che è tutto giusto) soprattutto dimostrare che quella data ricorrenza risolve effettivamente il problema. O in alternativa risolvere il problema in tutt'altro modo (io l'ho fatto per la versione di gio73) arrivando direttamente alla formula chiusa.
In parole povere: non possiamo dimostrare qualcosa di generale basandoci solo sui casi piccoli e senza fare un ragionamento che valga per qualsiasi $n$.
Però sarebbe interessante (oltre al lavoro fatto dopo aver trovato la ricorrenza, che è tutto giusto) soprattutto dimostrare che quella data ricorrenza risolve effettivamente il problema. O in alternativa risolvere il problema in tutt'altro modo (io l'ho fatto per la versione di gio73) arrivando direttamente alla formula chiusa.
In parole povere: non possiamo dimostrare qualcosa di generale basandoci solo sui casi piccoli e senza fare un ragionamento che valga per qualsiasi $n$.
Per la versione di gio73, si può ragionare in questo modo:
Si individuano 2 semirette per ogni punto ($2n$), a ciò si aggiungono $(n^2-n)/2$ segmenti fra i punti. Infatti, se disegno una retta con n punti con n arbitrariamente grande o arbitrariamente piccolo, posso contare dal secondo punto fino all'n-esimo punto per ottenere i segmenti di 1 punto, posso poi contare dal terzo punto fino all'n-esimo punto per ottenere i segmenti di 2 punti, posso poi contare dal quarto punto fino all'n-esimo punto per ottenere i segmenti di 3 punti ecc. Fino a che si arriva a contare solo l'n-esimo punto per ottenere il numero di segmenti che racchiudono tutti i punti (che è sempre pari a 1). È chiaro che il numero di segmenti è quindi pari a $1 + 2 + 3 + \ldots + n-1 = \sum_{i=1}^(n-1) i = (n-1)n/2 = (n^2 -n)/2.$ Detto ciò, il numero totale di regioni è dato quindi da $(4n + n^2 - n)/2 = (n^2 + 3n)/2$.
Questo mi dimostra effettivamente la formula di prima, dato che non mi sono basato su i casi piccoli per ottenere una relazione di ricorrenza. Sicuramente c'è qualche modo molto più semplice per ottenere questa formula che magari non richiede le sommatorie, ma così c'è la certezza assoluta.
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Per quanto riguarda il problema sulle regioni di piano, per avere il massimo numero di regioni di piano, devo assicurarmi che ogni retta sia distinta e si intersechi con tutte le altre rette. Infatti, una retta divide il piano in 2 regioni, quindi per ogni retta che aggiungo avrò una regione in più ogni regione in cui passa.
Su un piano con $n$ rette diviso in un certo numero di regioni, la retta $n+1$-esima intersecherà tutte le altre rette in massimo $n$ punti e quindi individuerà una regione ogni coppia di punti in cui le interseca, ovvero individuerà $n-1$ regioni. A ciò però si aggiungono $2$ regioni in più individuate dai primi due punti che "incontra" la retta. Infine, il numero massimo di regioni di piano che la retta individua è pari a $(n-1)+2=n+1$. Questo significa che ogni retta che aggiungo, aggiungo un massimo numero di regioni di piano pari al numero di rette aumentato di 1. Matematicamente: $r_(n+1) = r_n + n + 1$. Essendo $r_1 = 2$, si ottiene sostituendo la formula $r_n = 2 + \sum_(i=2)^n i$ del precedente post, questa volta dimostrata.
Si individuano 2 semirette per ogni punto ($2n$), a ciò si aggiungono $(n^2-n)/2$ segmenti fra i punti. Infatti, se disegno una retta con n punti con n arbitrariamente grande o arbitrariamente piccolo, posso contare dal secondo punto fino all'n-esimo punto per ottenere i segmenti di 1 punto, posso poi contare dal terzo punto fino all'n-esimo punto per ottenere i segmenti di 2 punti, posso poi contare dal quarto punto fino all'n-esimo punto per ottenere i segmenti di 3 punti ecc. Fino a che si arriva a contare solo l'n-esimo punto per ottenere il numero di segmenti che racchiudono tutti i punti (che è sempre pari a 1). È chiaro che il numero di segmenti è quindi pari a $1 + 2 + 3 + \ldots + n-1 = \sum_{i=1}^(n-1) i = (n-1)n/2 = (n^2 -n)/2.$ Detto ciò, il numero totale di regioni è dato quindi da $(4n + n^2 - n)/2 = (n^2 + 3n)/2$.
Questo mi dimostra effettivamente la formula di prima, dato che non mi sono basato su i casi piccoli per ottenere una relazione di ricorrenza. Sicuramente c'è qualche modo molto più semplice per ottenere questa formula che magari non richiede le sommatorie, ma così c'è la certezza assoluta.
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Per quanto riguarda il problema sulle regioni di piano, per avere il massimo numero di regioni di piano, devo assicurarmi che ogni retta sia distinta e si intersechi con tutte le altre rette. Infatti, una retta divide il piano in 2 regioni, quindi per ogni retta che aggiungo avrò una regione in più ogni regione in cui passa.
Su un piano con $n$ rette diviso in un certo numero di regioni, la retta $n+1$-esima intersecherà tutte le altre rette in massimo $n$ punti e quindi individuerà una regione ogni coppia di punti in cui le interseca, ovvero individuerà $n-1$ regioni. A ciò però si aggiungono $2$ regioni in più individuate dai primi due punti che "incontra" la retta. Infine, il numero massimo di regioni di piano che la retta individua è pari a $(n-1)+2=n+1$. Questo significa che ogni retta che aggiungo, aggiungo un massimo numero di regioni di piano pari al numero di rette aumentato di 1. Matematicamente: $r_(n+1) = r_n + n + 1$. Essendo $r_1 = 2$, si ottiene sostituendo la formula $r_n = 2 + \sum_(i=2)^n i$ del precedente post, questa volta dimostrata.
Benissimo Pianoth!
Non a caso vi ho suggerito di fare i tre problemi in sequenza: se non lo avessi notato, per risolvere il problema sul piano hai usato ciò che avevamo ottenuto con il problema sulla retta (anche se tu hai ripetuto l'intero ragionamento dall'inizio).
Come avevo pensato di risolvere la versione di gio73:
Oltre agli $n$ punti che abbiamo sulla retta, considero due punti "immaginari" che si trovano "all'infinito" da parti opposte sulla retta.
Ora ogni possibile regione è individuata dai due punti (che possono anche essere i 2 nuovi) che sono suoi estremi.
Quindi il numero di regioni (tra cui è compresa anche la retta stessa) è uguale al modo di scegliere $2$ elementi tra un insieme di $n+2$ elementi, cioè $ ( ( n+2),( 2) ) $ usando i coefficienti binomiali.
Questo numero è uguale a ${(n+2)(n+1)}/2$ che è lo stesso risultato di Pianoth ma aumentato di 1, perché io ho contato anche l'intera retta come possibile regione.
Non a caso vi ho suggerito di fare i tre problemi in sequenza: se non lo avessi notato, per risolvere il problema sul piano hai usato ciò che avevamo ottenuto con il problema sulla retta (anche se tu hai ripetuto l'intero ragionamento dall'inizio).
Come avevo pensato di risolvere la versione di gio73:
Oltre agli $n$ punti che abbiamo sulla retta, considero due punti "immaginari" che si trovano "all'infinito" da parti opposte sulla retta.
Ora ogni possibile regione è individuata dai due punti (che possono anche essere i 2 nuovi) che sono suoi estremi.
Quindi il numero di regioni (tra cui è compresa anche la retta stessa) è uguale al modo di scegliere $2$ elementi tra un insieme di $n+2$ elementi, cioè $ ( ( n+2),( 2) ) $ usando i coefficienti binomiali.
Questo numero è uguale a ${(n+2)(n+1)}/2$ che è lo stesso risultato di Pianoth ma aumentato di 1, perché io ho contato anche l'intera retta come possibile regione.
"milizia96":
In parole povere: non possiamo dimostrare qualcosa di generale basandoci solo sui casi piccoli e senza fare un ragionamento che valga per qualsiasi $n$.
D'accordo, però alle volte è utile, e molti lo fanno, osservare tanti casi particolari per cogliere una ricorrenza, una analogia, una regola. Credo che queto modo di ragionare, "dal particolare al generale", prenda il nome di induzione; l'inverso, "dal generale al particolare", deduzione. Penso si possano usare entrambi.
Certo, questo metodo di analizzare casi piccoli per poi sperare che funzioni in generale è molto utile (spesso necessario) per capire meglio cosa dimostrare, però la dimostrazione vera e propria è un'altra cosa.
Il processo inverso (dal generale al particolare) è ovvio usarlo, d'altronde se le cose astratte si lasciassero per come sono non servirebbero a niente, quando uno le impara lo fa per applicarle a casi particolari.
(spero di aver compreso bene il significato dei due termini che hai citato...)
Il processo inverso (dal generale al particolare) è ovvio usarlo, d'altronde se le cose astratte si lasciassero per come sono non servirebbero a niente, quando uno le impara lo fa per applicarle a casi particolari.
(spero di aver compreso bene il significato dei due termini che hai citato...)
"Pianoth":
Per quanto riguarda il problema sulle regioni di piano, per avere il massimo numero di regioni di piano, devo assicurarmi che ogni retta sia distinta e si intersechi con tutte le altre rette. Infatti, una retta divide il piano in 2 regioni, quindi per ogni retta che aggiungo avrò una regione in più ogni regione in cui passa.
Su un piano con $n$ rette diviso in un certo numero di regioni, la retta $n+1$-esima intersecherà tutte le altre rette in massimo $n$ punti e quindi individuerà una regione ogni coppia di punti in cui le interseca, ovvero individuerà $n-1$ regioni. A ciò però si aggiungono $2$ regioni in più individuate dai primi due punti che "incontra" la retta. Infine, il numero massimo di regioni di piano che la retta individua è pari a $(n-1)+2=n+1$. Questo significa che ogni retta che aggiungo, aggiungo un massimo numero di regioni di piano pari al numero di rette aumentato di 1. Matematicamente: $r_(n+1) = r_n + n + 1$. Essendo $r_1 = 2$, si ottiene sostituendo la formula $r_n = 2 + \sum_(i=2)^n i$ del precedente post, questa volta dimostrata.
Divertente proprio questa dimostrazione Pianoth, semplice e intuitiva
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