Rappresentazione decimale e divisibiltá
Saluti a tutti e Buon Anno,
Un problemino:
Mostrare che per ogni intero positivo n esiste un numero divisibile per 2^n la cui rappresentazione decimale contiene n digit, ciascuno dei quali é 1 o 2.
Ciao
Mistral
Un problemino:
Mostrare che per ogni intero positivo n esiste un numero divisibile per 2^n la cui rappresentazione decimale contiene n digit, ciascuno dei quali é 1 o 2.
Ciao
Mistral
Risposte
Per $n=1$ ho che il numero cercato è $2$.
Chiamo $a_n$ una successione così definita per ricorsione:
0)$a_1=2$
1)$a_{n+1}=10^n+a_n$ se $a_n \equiv 2^n mod(2^{n+1})$
2)$a_{n+1}=2*10^n+a_n$ se $a_n \equiv 0 mod(2^{n+1})$
Si vede subito che ogni termine della successione è congruo o a $2^n$ o a $0$ modulo $2^{n+1}$, quindi la definizione per ricorsione è valida. Inoltre si vede subito che questa successione è formata da valori che soddisfano le condizioni poste dal problema, in quanto ogni $a_n$ ha esattamente n cifre, che sono 1 o 2 (in quanto formate dalle cifre dei suoi precedenti con un uno o un due davanti) e che $2^n|a_n$.
Ciao
Chiamo $a_n$ una successione così definita per ricorsione:
0)$a_1=2$
1)$a_{n+1}=10^n+a_n$ se $a_n \equiv 2^n mod(2^{n+1})$
2)$a_{n+1}=2*10^n+a_n$ se $a_n \equiv 0 mod(2^{n+1})$
Si vede subito che ogni termine della successione è congruo o a $2^n$ o a $0$ modulo $2^{n+1}$, quindi la definizione per ricorsione è valida. Inoltre si vede subito che questa successione è formata da valori che soddisfano le condizioni poste dal problema, in quanto ogni $a_n$ ha esattamente n cifre, che sono 1 o 2 (in quanto formate dalle cifre dei suoi precedenti con un uno o un due davanti) e che $2^n|a_n$.
Ciao
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