Rapportiamoci...
Indichiamo con a un generico numero pari maggiore
o uguale a 2.
Calcoliamo il rapporto fra il prodotto di tutti i numeri
dispari fino ad a+1 e il prodotto di tutti i numeri pari
fino ad a.
Perché questo rapporto è sempre compreso fra un
terzo di a+3 e la radice quadrata della metà di a+2 ?
o uguale a 2.
Calcoliamo il rapporto fra il prodotto di tutti i numeri
dispari fino ad a+1 e il prodotto di tutti i numeri pari
fino ad a.
Perché questo rapporto è sempre compreso fra un
terzo di a+3 e la radice quadrata della metà di a+2 ?
Risposte
Si nota facilmente che i numeri dispari considerati (senza tener conto dell'1) sono in quantità uguale ai numeri pari. Infatti per $a$ pari si considereranno i dipari fino ad $a+1$ e i pari fino ad $a$, per $a$ dispari invece si considereranno i dispari fino ad $a$ e i pari fino ad $a-1$.
Pertanto confrontando a due a due un numero pari con uno dispari a partire dai più piccoli [la coppia (2,3)] è evidente che all'aumentare di $a$ aumenterà anche il valore del rapporto in questione. Considerando $a$ il più piccolo possibile, ossia $a=2$, avremo che il rapporto vale $3/2$ sicuramente più grande di $sqrt2$, e che quindi per ogni $a$ il rapporto in questione è maggiore della radice quadrata della metà di $a+2$.
Attendo ispirazione per la seconda parte della dimostrazione
P.S. Considerando 0 un numero pari la tua ipotesi risulta palesemnte falsa
Pertanto confrontando a due a due un numero pari con uno dispari a partire dai più piccoli [la coppia (2,3)] è evidente che all'aumentare di $a$ aumenterà anche il valore del rapporto in questione. Considerando $a$ il più piccolo possibile, ossia $a=2$, avremo che il rapporto vale $3/2$ sicuramente più grande di $sqrt2$, e che quindi per ogni $a$ il rapporto in questione è maggiore della radice quadrata della metà di $a+2$.
Attendo ispirazione per la seconda parte della dimostrazione
P.S. Considerando 0 un numero pari la tua ipotesi risulta palesemnte falsa
Ciao, Aethelmyth!
Sto leggendo di corsa, ma non capisco questo tuo passaggio:
(...) Considerando $a$ il più piccolo possibile, ossia $a=2$,
avremo che il rapporto vale $3/2$ sicuramente più grande
di $sqrt2$, e che quindi per ogni $a$ il rapporto in questione
è maggiore della radice quadrata della metà di $a+2$.
e cioè come dalla parte verde tu deduca quella marrone.
Scusami per la mia lentezza...
...abbiamo detto che a è maggiore o uguale a 2, no?
Volo via...
Ciao!
Sto leggendo di corsa, ma non capisco questo tuo passaggio:
(...) Considerando $a$ il più piccolo possibile, ossia $a=2$,
avremo che il rapporto vale $3/2$ sicuramente più grande
di $sqrt2$, e che quindi per ogni $a$ il rapporto in questione
è maggiore della radice quadrata della metà di $a+2$.
e cioè come dalla parte verde tu deduca quella marrone.
Scusami per la mia lentezza...
"Aethelmyth":
(...) P.S. Considerando 0 un numero pari la tua ipotesi
risulta palesemnte falsa
...abbiamo detto che a è maggiore o uguale a 2, no?
Volo via...
Ciao!
"Bruno":
Ciao, Aethelmyth!
Sto leggendo di corsa, ma non capisco questo tuo passaggio:
(...) Considerando $a$ il più piccolo possibile, ossia $a=2$,
avremo che il rapporto vale $3/2$ sicuramente più grande
di $sqrt2$, e che quindi per ogni $a$ il rapporto in questione
è maggiore della radice quadrata della metà di $a+2$.
e cioè come dalla parte verde tu deduca quella marrone.
Scusami per la mia lentezza...
Perchè
"Aethelmyth":(infatti i fattori del prodotto dei numeri dispari sono sempre maggiori del loro corrispondente pari)
confrontando a due a due un numero pari con uno dispari a partire dai più piccoli [la coppia (2,3)] è evidente che all'aumentare di $a$ aumenterà anche il valore del rapporto in questione.
"Bruno":
[quote="Aethelmyth"] (...) P.S. Considerando 0 un numero pari la tua ipotesi
risulta palesemnte falsa
...abbiamo detto che a è maggiore o uguale a 2, no?
Volo via...
Ciao![/quote]
Si ma il prodotto di "tutti" i numeri pari non ha limitazioni, quindi se si dovesse moltiplicare anche per 0 ...
Caro Aethelmyth, non riesco a capire il tuo ragionamento.
Non dico che non sia giusto (anzi), dico soltanto che non ho
ancora visto quello che per te è chiaro.
Il fatto che il rapporto indicato sia maggiore di 1 è ovvio
(naturalmente, almeno questo...), ma che ciò porti a dire
che esso sia maggiore di quella radice quadrata...
Il momento di tenebra c'è per tutti
Sarà stato quello zero, saltato fuori d'incanto, a disorientarmi?
(Il prodotto di tutti i numeri pari qui considerati va da 2 ad a,
mentre quello di tutti i numeri dispari va da 1 ad a+1, così
escludiamo anche i numeri pari e dispari negativi, non si sa
mai...)
Spero in tue pazienti delucidazioni.
Edit: Corretto "saltanto" con "saltato".
Non dico che non sia giusto (anzi), dico soltanto che non ho
ancora visto quello che per te è chiaro.
Il fatto che il rapporto indicato sia maggiore di 1 è ovvio
(naturalmente, almeno questo...), ma che ciò porti a dire
che esso sia maggiore di quella radice quadrata...
Il momento di tenebra c'è per tutti
Sarà stato quello zero, saltato fuori d'incanto, a disorientarmi?
(Il prodotto di tutti i numeri pari qui considerati va da 2 ad a,
mentre quello di tutti i numeri dispari va da 1 ad a+1, così
escludiamo anche i numeri pari e dispari negativi, non si sa
mai...)
Spero in tue pazienti delucidazioni.
Edit: Corretto "saltanto" con "saltato".
"Bruno":
Caro Aethelmyth, non riesco a capire il tuo ragionamento.
Non dico che non sia giusto (anzi), dico soltanto che non ho
ancora visto quello che per te è chiaro.
Il fatto che il rapporto indicato sia maggiore di 1 è ovvio
(naturalmente, almeno questo...), ma che ciò porti a dire
che esso sia maggiore di quella radice quadrata...
Il momento di tenebra c'è per tutti
Rileggendo bene devo darti ragione (ma che mi sono fumato mentre rispondevo?
). Credo che inceve di $sqrt[(a+2)/2]$ avessi considerato sempre $sqrt2$ per ogni $a$ 
"Bruno":
Sarà stato quello zero, saltanto fuori d'incanto, a disorientarmi?
(Il prodotto di tutti i numeri pari qui considerati va da 2 ad a,
mentre quello di tutti i numeri dispari va da 1 ad a+1, così
escludiamo anche i numeri pari e dispari negativi, non si sa
mai...)
Spero in tue pazienti delucidazioni.
Per lo 0 stavo un po' scherzando, cmq nel testo la limitazione $>2$ è soltanto su $a$ e non anche sul prodotto, ma si capisce che 0 non è preso in considerazione
Fiiiiiuu! Stavo già telefonando a uno psicologo
Comunque, non è difficile provare la questione, anzi...
Comunque, non è difficile provare la questione, anzi...
Aethelmyth... nessun'altra idea?
Non è difficile e se s'imbrocca una via
giusta si può risolvere anche in due e
due quattro.
Non è difficile e se s'imbrocca una via
giusta si può risolvere anche in due e
due quattro.
Ciau, sono tornato oggi da Londra dove ho festeggiato i miei 18 anni 
Domani pomeriggio mi rimetterò subito al lavoro non temere
Domani pomeriggio mi rimetterò subito al lavoro non temere
[size=150]AuGuRi[/size]
Grazie
Per il quesito non riesco ancora a cavare il ragno dal buco ... Ho pensato che potevo scrivere il rapporto in questione come:
-Per $a$ pari => $[(a+1)!]/[2^(a/2+1)(a/2!)]$
-Per $a$ dispari => $(a!)/{(2^[(a+1)/2])[((a-1)/2)!]}
Ma ancora niente... continuo a pensare xD
Per il quesito non riesco ancora a cavare il ragno dal buco ... Ho pensato che potevo scrivere il rapporto in questione come:
-Per $a$ pari => $[(a+1)!]/[2^(a/2+1)(a/2!)]$
-Per $a$ dispari => $(a!)/{(2^[(a+1)/2])[((a-1)/2)!]}
Ma ancora niente... continuo a pensare xD
Ok avevo sbagliato
-Per $a$ pari => $[(a+1)!]/[2^(a/2)(a/2!)]^2$
-Per $a$ dispari => $(a!)/{(2^[(a-1)/2])[((a-1)/2)!]}^2$
Puoi darmi un aiutino Bruno?
P.S. Non è che hai msn?
-Per $a$ pari => $[(a+1)!]/[2^(a/2)(a/2!)]^2$
-Per $a$ dispari => $(a!)/{(2^[(a-1)/2])[((a-1)/2)!]}^2$
Puoi darmi un aiutino Bruno?
P.S. Non è che hai msn?
Caso particolare: $a=12$, $a+1=13$
$(3*5*7*9*11*13)/(5*7*9*11*13*15)<(3*5*7*9*11*13)/(2*4*6*8*10*12)<(4*6*8*10*12*14)/(2*4*6*8*10*12)$
ovvero
$3/(12+3)<...<(12+2)/2$ utilizzando un numero pari $a$
$3/(a+3)<...<(a+2)/2$
Dimostriamo ora che:
$sqrt((12+2)/2)<(3*5*7*9*11*13)/(2*4*6*8*10*12)$
$( (4*6*8*10*12*14)/(2*4*6*8*10*12))*((2*4*6*8*10*12)^2/(3*5*7*9*11*13)^2)=$
$ ( (2*4)(4*6)(6*8)(8*10)(10*12)(12*14))/( (3^2)(5^2)(7^2)(9^2)(11^2)(13^2))$
abbiamo tutti prodotti tra frazioni del tipo
$((x-1)(x+1))/(x^2)=(x^2-1)/(x^2)$ per cui il precedente rapporto risulta $<1$
Dimostriamo ora che $((3*5*7*9*11*13)/(2*4*6*8*10*12))<( (5*7*9*11*13*15)/(3*5*7*9*11*13))$
avremo
$ ((3^2)(5^2)(7^2)(9^2)(11^2)(13^2))/( (2*5)(4*7)(6*9)(8*11)(10*13)(12*15))$
prodotto tra frazioni del tipo
$(x^2)/((x-1)(x+2))=(x^2)/(x^2+x-2)$ per cui il precedente rapporto risulta$<1$
Penso sia facile generalizzare per un qualsiasi $a$ pari $>2$.
$(3*5*7*9*11*13)/(5*7*9*11*13*15)<(3*5*7*9*11*13)/(2*4*6*8*10*12)<(4*6*8*10*12*14)/(2*4*6*8*10*12)$
ovvero
$3/(12+3)<...<(12+2)/2$ utilizzando un numero pari $a$
$3/(a+3)<...<(a+2)/2$
Dimostriamo ora che:
$sqrt((12+2)/2)<(3*5*7*9*11*13)/(2*4*6*8*10*12)$
$( (4*6*8*10*12*14)/(2*4*6*8*10*12))*((2*4*6*8*10*12)^2/(3*5*7*9*11*13)^2)=$
$ ( (2*4)(4*6)(6*8)(8*10)(10*12)(12*14))/( (3^2)(5^2)(7^2)(9^2)(11^2)(13^2))$
abbiamo tutti prodotti tra frazioni del tipo
$((x-1)(x+1))/(x^2)=(x^2-1)/(x^2)$ per cui il precedente rapporto risulta $<1$
Dimostriamo ora che $((3*5*7*9*11*13)/(2*4*6*8*10*12))<( (5*7*9*11*13*15)/(3*5*7*9*11*13))$
avremo
$ ((3^2)(5^2)(7^2)(9^2)(11^2)(13^2))/( (2*5)(4*7)(6*9)(8*11)(10*13)(12*15))$
prodotto tra frazioni del tipo
$(x^2)/((x-1)(x+2))=(x^2)/(x^2+x-2)$ per cui il precedente rapporto risulta$<1$
Penso sia facile generalizzare per un qualsiasi $a$ pari $>2$.
Bravo, Celine!
Procedimento efficace e interessante
Ciao, Aethelmyth.
Ti ho scritto un messaggio in PM (Messaggi privati)
Procedimento efficace e interessante
"Aethelmyth":
P.S. Non è che hai msn?
Ciao, Aethelmyth.
Ti ho scritto un messaggio in PM (Messaggi privati)
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