Ragionamento con le potenze

[Pianoth]

Determinare con certezza (possibilmente senza effettuare calcoli complicati e senza calcolatrice) quale tra i seguenti numeri è maggiore:
$8^10, 10^9, 7^11, 5^13$.

Vediamo cosa riuscite a combinare!

EDIT: Potrebbe essere necessario l'uso di logaritmi, per quelli è consentito l'uso delle tavole logaritmiche e della calcolatrice... Altrimenti, se proprio volete fare tutto a mano, potreste usare gli sviluppi in serie di potenze o altri metodi per approssimarli, ma credo che nessuno di voi abbia voglia di usarli

[Zero87]

"Pianoth":Potrebbe essere necessario l'uso di logaritmi

Avevo in mente solo un metodo con i logaritmi (senza leggere l'edit, dico in generale ).

Il succo del metodo sta in 2 affermazioni:
- il logaritmo reale è iniettivo (quando e se farete analisi complessa capirete il perché di questa precisazione ), anzi, è anche strettamente crescente quindi mantiene pure i segni delle disequazioni strette [ci sarebbe da fare qualche precisazione, credo, ma fidiamoci];
- il logaritmo ha questa interessante proprietà $log_a (b^k) = k log_a (b)$.

Dalla prima proprietà deduco facilmente che se $m_1 > m_2$ vale anche $log_a (m_1) > log_a (m_2)$ (per $a>1$ altrimenti vale il contrario per $0
Ora utilizziamo l'interessante proprietà detta in precedenza (come logaritmo prendo quello in base 10 che, in genere, si indica con la maiuscola)...
- $10 Log (8)$
- $9 Log (10)=9$ facile facile
- $11 Log (7)$
- $13 Log(5)$

Se utilizzo la calcolatrice, i calcoli sono semplici e vedo subito cosa riporta.
- $10 Log(8) = 9,030899...$
- 9... punto è basta...
- $11 Log(7) = 9,2960...$
- $13 Log(5) = 9,0866...$
Risposta, la 3, cioè il $7^11$.

[kobeilprofeta]

@zero87

"Pianoth":... (possibilmente senza effettuare calcoli complicati e senza calcolatrice)...

bel metodo...ma non credo che tu abbia fatto tutto a mente...

[Zero87]

"kobeilprofeta":@zero87

[quote="Pianoth"]... (possibilmente senza effettuare calcoli complicati e senza calcolatrice)...

bel metodo...ma non credo che tu abbia fatto tutto a mente...[/quote]
Confermo: l'ho proprio scritto dove ho utilizzato la calcolatrice (ma l'ho fatto in un passaggio dove si potevano usare tavole logaritmiche anche se andava scelta la base $e$ invece che con la base $10$).

[Palliit]

Vediamo se approssimando a mente funziona.

Comincio coi primi due: $8^10=2^30=(2^10)^3 > 1000^3 =10^9$
(essendo: $2^10=1024>1000$ ___) ;

il terzo: $7^11=7^10*7=49^5*7 approx 50^5*7=(100)^5/(2^5)*7=10^10*(7/32)=7/(3.2)*10^9 approx 2*10^9$,
che quindi è maggiore (è circa il doppio) del primo, $8^10 approx 10^9 $ ;

il quarto: $5^13=5*5^12=5*(10^12)/(2^12) = 5*(10^12)/(4*2^10) < 5/4*(10^12)/1000=5/4*(10^12)/(10^3)=5/4*10^9$

sensibilmente minore di $7^11$__che risulta essere (approssimativamente...) il più grande.

[kobeilprofeta]

Senza nulla togliere @zero87, credo che il metodo migliore sia quello di pallit (complimenti), poiche è riuscito a non usare la calcolatrice...

[Pianoth]

Complimenti! Era più o meno il metodo che si doveva usare. Principalmente ho scritto quell'ultimo pezzo perché solo con i logaritmi o con metodi troppo complessi puoi avere l'assoluta certezza. Complimenti anche a Zero, anche se ha usato un metodo piuttosto standard.

[Zero87]

"Pianoth":Complimenti anche a Zero, anche se ha usato un metodo piuttosto standard.

Non mi veniva in mente altro... Prima di leggere Palliit .