Radici quadrate e numeri primi

[carlo232]

Questo è un non troppo difficile problema.

Dimostrare che l'equazione $sqrt(x)+sqrt(y)=sqrt(p)$ non ha soluzioni con $x,y$ numeri interi $>0$ se $p$ è un numero primo.

Ciao!

[Giusepperoma2]

caso 1

x e y quadrati perfetti (rispettivamente di a e b)

a+b=sqrt(p)

assurdo

caso 2

nessuno fra x e y e' un quadrato perfetto ma lo e' il loro prodotto.

questo significa che i numeri sono della forma

x=a^n*b^f

y = a^(2k-n)*b^(2q-f)

quadrando si avrebbe

a^n*b^f + a^(2k-n)*b^(2q-f) +2*a^k*b^q = p

allora (nel caso n e b fosseo gli esponenti minori)

a^n*b^f*[1+a^(2k-2n)*b^(2q-2f)+2*a^(k-n)*b^(q-f)] = p

ovvero avrei trovato una fattorializzazione di un primo... assurdo

caso 3

x e y non sono quadrati perfetti, ne' lo e' il loro prodotto

quadriamo...

x + y + 2sqrt(xy) = p

da cui

sqrt(xy) = (p - x - y)/2

ma se xy non e' un quadrato perfetto la sua radice e' irrazionale... ASsurdo!

caso 4

uno solo fra x e y e' un quadrato perfetto

si verifica in modo analogo al caso 3

[carlo232]

"Giusepperoma":caso 1....si verifica in modo analogo al caso 3

Bravo! è giusto

[Giusepperoma2]

grazie...

l'avevi risolto allo stesso modo?

[carlo232]

"Giusepperoma":grazie...

l'avevi risolto allo stesso modo?

Si, ero solo stato più sintetico.

Abbiamo $x+2sqrt(xy)+y=p$ da cui $xy$ deve essere un quadrato perfetto, ci sono due casi: $x$ e $y$ sono quadrati perfetti,
ma allora si ha

$x=a^2,y=b^2$ e quindi $a^2+2ab+b^2=p=(a+b)^2$ che è impossibile

oppure $x$ e $y$ non sono quadrati perfetti e $sqrt(xy)$ è intero, ma allora segue che $MCD(x,y) >1$ e detto $q$ un numero primo che divida $MCD(x,y)$ allora $q$ divide $sqrt(xy)$ e quindi $x+sqrt(xy)+y=p$ può essere primo solo se $q=p$ ma ciò non soddisfa l'uguaglianza.

Ciao!