Radice trigonometrica

[vl4dster]

provare che $2cos(2pi/7) $ e' radice di $x^3+x^2-2x-1$

[laura.todisco]

Ma sei sicuro che sia radice? A me non sembra.

[ficus2002]

"vl4d":provare che $2cos(2pi/7) $ e' radice di $x^3+x^2-2x-1$

Consideriamo l'equazione
$cos4\alpha=cos3\alpha$.
Osserviamo che l'angolo $alpha=2\pi/7$ è soluzione di questa equzione.
Dalla trigonometria, abbiamo che
$cos 4alpha=8cos^4alpha-8cos^2alpha+1$
$cos 3alpha=4cos^3alpha-3cosalpha$
Dunque $cos 2\pi/7$ è soluzione dell'equazione algebrica
$8x^4-8x^2+1=4x^3-3x$
ossia
$8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0$
Questo polinomio è divisibile per $x-1$
$8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=(x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)$
Quindi $cos(2\pi/7)$ è radice del polinomio
$8x^3+4x^2-4x-1$
e, di conseguenza, $2cos(2\pi/7)$ è radice del polinomio
$8(x/2)^3+4(x/2)^2-4(x/2)-1=x^3+x^2-2x-1$

[vl4dster]

Consideriamo l'equazione
$cos4\alpha=cos3\alpha$.
Osserviamo che l'angolo $alpha=2\pi/7$ è soluzione di questa equzione.

mi inginocchio.
pero' mi spieghi cosa ti ha indotto a partire da questo? voglio dire, e' un fatto ben noto ? vorrei capire come si arriva a considerare una cosa del genere!

[ficus2002]

"vl4d":

Consideriamo l'equazione
$cos4\alpha=cos3\alpha$.
Osserviamo che l'angolo $alpha=2\pi/7$ è soluzione di questa equzione.

mi inginocchio.
pero' mi spieghi cosa ti ha indotto a partire da questo? voglio dire, e' un fatto ben noto ? vorrei capire come si arriva a considerare una cosa del genere!

La tecnica che di solito si usano in questi casi partire da un'equazione trigonomentrica e trasformarla in eq algebrica. In questo caso si poteva partire anche dall'equazione $cos 7\alpha =1$ che può essere trasformata in equazione algebrica (nella variabile $cos alpha$) conoscendo le formule di $7-$uplicazione, quindi questo procedimento è scomodo è porta a troppi calcoli. Se invece osservi che $7=3+4$, , quindi anzichè l'equazione $cos 7\alpha =cos 0\alpha$, consideri l'equazione $cos 4\alpha =cos 3\alpha$ hai mendo calcoli da fare. Potevo anche scegliere $cos 5\alpha =cos 2\alpha$ ecc. ecc.