Questo gioco può finire?
Vi propongo un gioco
Premessa: provate a giocare senza programmi informatici o software sofisticati, altrimenti perde di senso il gioco
Dato un numero \( N \in \mathbb{N} \), scriviamolo in base 10, \( N= n_0 = a_k 10^k + \ldots + a_0 \).
Moltiplichiamo tutte le sue cifre per ottenere \(n_1 = a_k \cdot \ldots \cdot a_0 \) e iteriamo il procedimento con \(n_1 \) finché, non arriviamo ad un numero \(n_{\ell} \in \{ 0, 1, \ldots, 9 \} \) composto di una sola cifra. Diremo allora che \(n_0 \) ha lunghezza \( \ell \). Definiamo così l'applicazione \( L : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \), che ad un intero associa la sua lunghezza \( n \mapsto L(n)= \ell \)
Ad esempio \(N = 18 \) è di lunghezza \( L(18) = 1 \) poiché \(N=n_0 = 18 \) e \( n_1=1 \cdot 8 = 8 \).
Chi conosce il gioco si astenga dal giocare
Regole del gioco:
1) Chi propone il gioco trovo l'intero minimale di lunghezza \(0\) e il gioco può partire
2) Se qualcuno ha trovato l'intero minimale di lunghezza \(\ell \geq 0\), bisogna imperativamente cercare l'intero minimale di lunghezza \(\ell+1\).
3) Supponiamo che si siano trovati tutti gli interi minimali \(N_0,N_1,\ldots, N_{\ell} \) di lunghezza rispettivamente \(0< 1< \ldots < \ell \), il vincitore momentaneo è colui che ha trovato \(N_{\ell}\).
4) Sotto le medesime condizioni del punto 3), tutti i partecipanti - anche il vincitore momentaneo stesso - hanno al più 1 mese di tempo per trovare \(N_{\ell+1} \), altrimenti il vincitore momentaneo sarà dichiarato vincitore e il gioco termina.
[5) Sarei tentato di metterla come regola che è vietato usare programmi informatici e software, ma ad una certa forse diventa impossibile! Diremo che è vietato fino a numeri ragionevolmente bassi poi è ammesso però se riuscite senza a trovargli.. chapeau avete vinto a priori ]
Io inizio (e poi smetto di giocare perché conosco le risposte).
\( N_0 = 0 \) è minimale per \(L(n)=0 \).
Attualmente sono vincitore momentaneo, se passa più di un mese prima che qualcuno trovi un intero positivo \(N_1\) minimale tale che \( L(n)=1\) sarò vincitore. Altrimenti chi trova entro un mese questo \(N_1 \) sarà vincitore momentaneo, etc.
Premessa: provate a giocare senza programmi informatici o software sofisticati, altrimenti perde di senso il gioco
Dato un numero \( N \in \mathbb{N} \), scriviamolo in base 10, \( N= n_0 = a_k 10^k + \ldots + a_0 \).
Moltiplichiamo tutte le sue cifre per ottenere \(n_1 = a_k \cdot \ldots \cdot a_0 \) e iteriamo il procedimento con \(n_1 \) finché, non arriviamo ad un numero \(n_{\ell} \in \{ 0, 1, \ldots, 9 \} \) composto di una sola cifra. Diremo allora che \(n_0 \) ha lunghezza \( \ell \). Definiamo così l'applicazione \( L : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \), che ad un intero associa la sua lunghezza \( n \mapsto L(n)= \ell \)
Ad esempio \(N = 18 \) è di lunghezza \( L(18) = 1 \) poiché \(N=n_0 = 18 \) e \( n_1=1 \cdot 8 = 8 \).
Chi conosce il gioco si astenga dal giocare
Regole del gioco:
1) Chi propone il gioco trovo l'intero minimale di lunghezza \(0\) e il gioco può partire
2) Se qualcuno ha trovato l'intero minimale di lunghezza \(\ell \geq 0\), bisogna imperativamente cercare l'intero minimale di lunghezza \(\ell+1\).
3) Supponiamo che si siano trovati tutti gli interi minimali \(N_0,N_1,\ldots, N_{\ell} \) di lunghezza rispettivamente \(0< 1< \ldots < \ell \), il vincitore momentaneo è colui che ha trovato \(N_{\ell}\).
4) Sotto le medesime condizioni del punto 3), tutti i partecipanti - anche il vincitore momentaneo stesso - hanno al più 1 mese di tempo per trovare \(N_{\ell+1} \), altrimenti il vincitore momentaneo sarà dichiarato vincitore e il gioco termina.
[5) Sarei tentato di metterla come regola che è vietato usare programmi informatici e software, ma ad una certa forse diventa impossibile! Diremo che è vietato fino a numeri ragionevolmente bassi
poi è ammesso però se riuscite senza a trovargli.. chapeau avete vinto a priori ]Io inizio (e poi smetto di giocare perché conosco le risposte).
\( N_0 = 0 \) è minimale per \(L(n)=0 \).
Attualmente sono vincitore momentaneo, se passa più di un mese prima che qualcuno trovi un intero positivo \(N_1\) minimale tale che \( L(n)=1\) sarò vincitore. Altrimenti chi trova entro un mese questo \(N_1 \) sarà vincitore momentaneo, etc.
Risposte
10
25
In attesa che qualcuno mi batta, faccio unaconsiderazione.
Il gioco finisce se dimostro che c'è un n tale che eseguite n+1 moltiplicazioni come quelle date, partendo da un qualunque numero, non si può evitare che tra le cifre ci sia uno zero.
[size=85]per cambiare le cose ci vogliono le idee. Io ci ho messo questa. (C.Guzzanti)[/size]
Il gioco finisce se dimostro che c'è un n tale che eseguite n+1 moltiplicazioni come quelle date, partendo da un qualunque numero, non si può evitare che tra le cifre ci sia uno zero.
[size=85]per cambiare le cose ci vogliono le idee. Io ci ho messo questa. (C.Guzzanti)[/size]
$729$
$688$
"axpgn":
$729$
No, è di lunghezza 3 infatti \( n_0 = 729\), \(n_1=126=7\cdot \cdot 2 \cdot 9 \), \(n_2= 12 =1\cdot 2 \cdot \cdot 6 \), e \(n_3 = 1\cdot 2 = 2 \) ma non è minimale
Edit: bisogna ancora cercare il minimale di lunghezza 3.
Per le altre risposte invece: sono corrette
\[ 0 \]
\[ 10 \to 0 \]
\[ 25 \to 10 \to 0 \]
"andomito":
In attesa che qualcuno mi batta, faccio unaconsiderazione.
Il gioco finisce se dimostro che c'è un n tale che eseguite n+1 moltiplicazioni come quelle date, partendo da un qualunque numero, non si può evitare che tra le cifre ci sia uno zero.
[size=85]per cambiare le cose ci vogliono le idee. Io ci ho messo questa. (C.Guzzanti)[/size]
Però è falso, \( 27 \to 14 \to 4 \), di lunghezza 2 e non c'è uno zero.
Edit: ho capito male quello che dicevi. Se lo dimostri si, il gioco finisce
"3m0o":
Edit: bisogna ancora cercare il minimale di lunghezza 3.
Dopo aver riletto più volte il testo del gioco, pensavo di averlo capito ma non era così
Forse se semplifichi un po' ogni tanto ...
... comunque $279$ ti va bene? E $688$? È anche più lungo ...
Cordialmente, Alex
$39\ ->\ 27\ ->\ 14\ ->\ 4$
"axpgn":
[quote="3m0o"]Edit: bisogna ancora cercare il minimale di lunghezza 3.
Dopo aver riletto più volte il testo del gioco, pensavo di averlo capito ma non era così
Forse se semplifichi un po' ogni tanto ...
... comunque $279$ ti va bene? E $688$? È anche più lungo ...
Cordialmente, Alex[/quote]
No e no
Lo so non sono molto bravo a farmi capire! ehehe
10 è il minimale di lunghezza 1 perché tutti i numeri più piccoli di 10 sono di lunghezza 0. In altre parole è il primo intero di lunghezza 1.
25 è il minimale di lunghezza 2 perché tutti i numeri più piccoli di 25 sono di lunghezza 0 oppure 1. È il primo di lunghezza 2.
\( 279 \) è di lunghezza 3, ma non è minimale (c'è almeno un numero di lunghezza 3 più piccolo). Trovato questo bisognerebbe trovare il minimale di lunghezza 4 etc. Mentre
\(688 \) è di lunghezza 5 ma comunque non è minimale (c'è almeno un numero più piccolo di lunghezza 5).
"axpgn":
$39\ ->\ 27\ ->\ 14\ ->\ 4$
ora sei vincitore "momentaneo" Bisogna cercare quello di lunghezza 4 minimale. Non di lunghezza 5
$77\ -> \ 49\ ->\ 36\ -> 18\ ->\ 8$
"axpgn":
$77\ -> \ 49\ ->\ 36\ -> 18\ ->\ 8$
$679\ ->\ 378\ ->\ 168\ ->\ 48\ ->\ 32\ ->\ 6$
Yes!
Sarei poi curioso di sapere se hai usato la forza bruta, o hai iniziato a filtrare qualche numero in base a qualche considerazione (metti in spoiler)
Sarei poi curioso di sapere se hai usato la forza bruta, o hai iniziato a filtrare qualche numero in base a qualche considerazione (metti in spoiler)
Cordialmente, Alex
Mmm, non lo dici perché vuoi vincere
No, no, l'avessi capito ... 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
No, no, l'avessi capito ...
Cordialmente, Alex
È un mezzo suggerimento
edit:
Cordialmente, Alex
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