Questioni elementari
A)Le altezze di un triangolo ,rispetto ad un'assegnata
unita',misurano 20,28,35.
Calcolare le misure dei 3 lati.
B)Dimostrare che il prodotto di 2 numeri interi ,ciascuno
della forma $x^2+2y^2$, e' anch'esso rappresentabile
allo stesso modo.
C)Dimostrare che esiste un intero M tale che sia:
$sin(M)>sin(33)$
[M e 33 espressi in radianti]
karl
unita',misurano 20,28,35.
Calcolare le misure dei 3 lati.
B)Dimostrare che il prodotto di 2 numeri interi ,ciascuno
della forma $x^2+2y^2$, e' anch'esso rappresentabile
allo stesso modo.
C)Dimostrare che esiste un intero M tale che sia:
$sin(M)>sin(33)$
[M e 33 espressi in radianti]
karl
Risposte
B)
$(x^2+2y^2)(z^2+2w^2)=x^2z^2+4y^2w^2+2z^2y^2+2x^2w^2=x^2(z^2+2w^2)+2y^2(z^2+2w^2)$
C)
Non ho capito bene se 33 sono gradi o radianti, cmq per $M=90°=pi/2$ => $sin(M)>=sin(x)$ per qualsiasi x [il valore di $sin(x)$ varia da -1($-pi/2+2kpi$) a 1($pi/2+2kpi$)]
$(x^2+2y^2)(z^2+2w^2)=x^2z^2+4y^2w^2+2z^2y^2+2x^2w^2=x^2(z^2+2w^2)+2y^2(z^2+2w^2)$
C)
Non ho capito bene se 33 sono gradi o radianti, cmq per $M=90°=pi/2$ => $sin(M)>=sin(x)$ per qualsiasi x [il valore di $sin(x)$ varia da -1($-pi/2+2kpi$) a 1($pi/2+2kpi$)]
$(x^2+2y^2)(z^2+2w^2)=x^2z^2+4y^2w^2+2z^2y^2+2x^2w^2$
Posto $a=xz+2yw$ e $b=xw-zy$...
Posto $a=xz+2yw$ e $b=xw-zy$...
@Aethelmyth
Le tue risposte non vanno bene.
Per il primo esercizio si deve dimostrare che quel prodotto
e' esprimibile nella forma $A^2+2B^2$ dove $A^2,B^2$ sono
quadrati (esatti) di numeri interi.Nel caso tuo risulta
$A=x^2(z^2+2w^2),B=y^2(z^2+2w^2)$ che ,a meno di casi
particolari, non sono quadrati esatti.Con una diversa scomposizione
ci si puo' arrivare!!
Nel secondo es. ho espressamente indicato che M e 33 sono
in radianti.Pertanto $M=(pi)/2=1.57^(rad)$ (circa) non e' accettabile
perche' non intero come richiesto.
karl
Le tue risposte non vanno bene.
Per il primo esercizio si deve dimostrare che quel prodotto
e' esprimibile nella forma $A^2+2B^2$ dove $A^2,B^2$ sono
quadrati (esatti) di numeri interi.Nel caso tuo risulta
$A=x^2(z^2+2w^2),B=y^2(z^2+2w^2)$ che ,a meno di casi
particolari, non sono quadrati esatti.Con una diversa scomposizione
ci si puo' arrivare!!
Nel secondo es. ho espressamente indicato che M e 33 sono
in radianti.Pertanto $M=(pi)/2=1.57^(rad)$ (circa) non e' accettabile
perche' non intero come richiesto.
karl
Ho capito 
Per il B) Pachito ha risolto
Per il C) Non so bene come fare ma con la forza bruta del calcolatore si scopre che 33 è poco più di $pi/2$, di circa 15 millesimi, e continuando ad aggiungere $2pi$ si trova che $sin(322)$ è più grande di $sin(33)$
Naturalmente spero che qualcuno trovi una vera soluzione
Per il B) Pachito ha risolto
Per il C) Non so bene come fare ma con la forza bruta del calcolatore si scopre che 33 è poco più di $pi/2$, di circa 15 millesimi, e continuando ad aggiungere $2pi$ si trova che $sin(322)$ è più grande di $sin(33)$
Naturalmente spero che qualcuno trovi una vera soluzione
per il primo problema, ho impostato un sistema che poi ho fatto risolvere a derive che mi da come risultati
x = 28.35429542
y = 47.55159901
z = 33.96542786
ad occhio mi sembrano accettabili come valori...
x = 28.35429542
y = 47.55159901
z = 33.96542786
ad occhio mi sembrano accettabili come valori...
Io ho trovato
$a=245/(2sqrt6)$
$b=175/(2sqrt6)$
$c=70/sqrt6$
a karl l'ardua sentenza!
Poichè in un triangolo
$a/(1/h_a)=b/(1/h_b)=c/(1/h_c)$, il triangolo di lati $a,b,c$ è simile al triangolo di lati $1/h_a,1/h_b,1/h_c$.
Da quest'ultimo triangolo possiamo trovare, mediante le formule di Briggs, i tre angoli che sono quindi uguali a quelli del triangolo dato.
Ho ricavato
$senalpha=(2sqrt6)/5$
$senbeta=(2sqrt6)/7$
$sengamma=(8sqrt6)/35$.
A questo punto è facile trovare i lati mediante le formule:
$a=h_b/(sengamma)$
$b=h_c/(senalpha)$
$c=h_a/(senbeta)$.
$a=245/(2sqrt6)$
$b=175/(2sqrt6)$
$c=70/sqrt6$
a karl l'ardua sentenza!
Poichè in un triangolo
$a/(1/h_a)=b/(1/h_b)=c/(1/h_c)$, il triangolo di lati $a,b,c$ è simile al triangolo di lati $1/h_a,1/h_b,1/h_c$.
Da quest'ultimo triangolo possiamo trovare, mediante le formule di Briggs, i tre angoli che sono quindi uguali a quelli del triangolo dato.
Ho ricavato
$senalpha=(2sqrt6)/5$
$senbeta=(2sqrt6)/7$
$sengamma=(8sqrt6)/35$.
A questo punto è facile trovare i lati mediante le formule:
$a=h_b/(sengamma)$
$b=h_c/(senalpha)$
$c=h_a/(senbeta)$.
A me vengono questi lati
$175/12*sqrt(6)$
$35/3*sqrt(6)$
$245/12*sqrt(6)$
spero di non aver fatto errori di calcolo vista l'ora
Ho sfruttato il teorema dei seni e la formula delle aree per un triangolo qualunque ($(ab)/2*senalpha$), area che è anche uguale alla solita formula (base*altezza)/2 dove l'altezza è assegnata e la base è il terzo lato che si oppone all'angolo $alpha$. Facendo questo ragionamento per tutti i lati ho trovato quei risultati.
$175/12*sqrt(6)$
$35/3*sqrt(6)$
$245/12*sqrt(6)$
spero di non aver fatto errori di calcolo vista l'ora
Ho sfruttato il teorema dei seni e la formula delle aree per un triangolo qualunque ($(ab)/2*senalpha$), area che è anche uguale alla solita formula (base*altezza)/2 dove l'altezza è assegnata e la base è il terzo lato che si oppone all'angolo $alpha$. Facendo questo ragionamento per tutti i lati ho trovato quei risultati.
"karl":
A)Le altezze di un triangolo ,rispetto ad un'assegnata
unita',misurano 20,28,35.
Calcolare le misure dei 3 lati.
Se i lati del triangolo sono a, b e c,
posso scrivere:
10a=14b=½35c
ossia: a/c=7/4 e b/c=5/4.
Da cui ricavo facilmente:
½(a+b+c) = 2c
e poi:
½(a+b+c)-c = c
½(a+b+c)-b = ¾c
½(a+b+c)-a = ¼c.
Quindi ho, per Erone:
2c·c·¼c·¾c = (½35c)² .
Noto c, son noti anche i due lati
rimanenti, e mi ritrovo così con gli
stessi valori già indicati da Piera e
Nicasamarciano.
"karl":
B)Dimostrare che il prodotto di 2 numeri interi ,ciascuno
della forma $x^2+2y^2$, e' anch'esso rappresentabile
allo stesso modo.
A questa domanda si può rispondere anche
per mezzo di una famosissima (e antica)
identità:
(a² + b²) (c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)² = (ac - bd)² + (ad + bc)²
Ho un'idea per il terzo ma non mi piace granché.
Vedo se riesco a migliorarla.
Edit: Interventino ortografico...
Ottime soluzioni.Quella di Bruno,che evita la trigonometria, e'
identica alla mia.Non ho capito come andrebbe applicata quella
identita' riportata da Bruno:non vedo il "2".
karl
identica alla mia.Non ho capito come andrebbe applicata quella
identita' riportata da Bruno:non vedo il "2".
karl
Hai ragione, Karl, in effetti era solo un accenno.
Prendendo, per esempio, sia b che d uguali a
un "multiplo" della radice quadrata di 2, si ottiene
che b² e d² sono il doppio di un quadrato, ac±bd
è intero e da (ad±bc)² vien fuori il doppio di un altro
quadrato (portando all'esterno della parentesi la radice
quadrata di 2).
Prendendo, per esempio, sia b che d uguali a
un "multiplo" della radice quadrata di 2, si ottiene
che b² e d² sono il doppio di un quadrato, ac±bd
è intero e da (ad±bc)² vien fuori il doppio di un altro
quadrato (portando all'esterno della parentesi la radice
quadrata di 2).
"karl":
C)Dimostrare che esiste un intero M tale che sia:
$sin(M)>sin(33)$
[M e 33 espressi in radianti]
Dalla famosa limitazione archimedea:
22/7 > pi
si può arrivare a stabilire questo:
pi/2 > 4pi-11 > 0.
Ciò significa che:
sen(4pi-11) = sen(-11) > 0 .
Poiché:
1 > sen²(-11)
abbiamo anche:
4sen(-11) > 4sen³(-11)
e quindi:
sen(-11) > -3sen(-11)+4sen³(-11) = 3sen(11)-4sen³(11) = sen(33)
...salvo sviste!
Nessuna svista:tutto molto bello!
karl
karl
Non ho capito 
questo passaggio e qlkosina di tutto il resto.
questo passaggio e qlkosina di tutto il resto."Bruno":
22/7 > pi
si può arrivare a stabilire questo:
pi/2 > 4pi-11 > 0.
Grazie, Karl 
> Per Aethelmyth
Intanto, ciao.
Ti faccio una piccola premessa.
A M=-11 sono arrivato, in prima battuta, attraverso
Excel. A questo foglio elettronico ho fatto fare due
conticini per capire che cosa avrei dovuto dimostrare.
Dopo aver visto che -11 rispondeva al problema,
dovevo naturalmente passare a una dimostrazione,
senza calcolatrice o computer.
Gli angoli 33 e 11 mi facevano chiaramente pensare
a una nota relazione trigonometrica:
sen(3a) = 3sen(a)-4sen³(a).
E' stato quindi naturale cercare di provare che:
sen(-11) > sen(33) = 3sen(11)-4sen³(11).
Se fossi riuscito a dimostrare (con carta e penna!) che
sen(-11) = -sen(11) è positivo, avrei poi dimostrato
che sen(-11) > sen(33).
Il passo che tu hai messo in evidenza mi ha permesso
di stabilire che sen(-11) > 0 dal momento che (per
usare i gradi sessagesimali) -630°,25... (cioè -11 radianti)
dà lo stesso seno di 89°,75... (per le note ragioni di
periodicità) e questo seno, ovviamente, è positivo.
La prima disuguaglianza di pi/2 > 4pi-11 > 0 si deduce
facilmente dalla limitazione di Archimede, ma anche
4pi-11 > 0 è di immediata verifica. Il fatto che 4pi-11
(89°,75...) sia compreso fra 0° e 90° gradi assicura
la positività del seno.
Spero di essere stato chiaro, Aethelmyth, e comunque
questo è il ragionamento che ho fatto quando ho visto
il problema.
> Per Aethelmyth
Intanto, ciao.
Ti faccio una piccola premessa.
A M=-11 sono arrivato, in prima battuta, attraverso
Excel. A questo foglio elettronico ho fatto fare due
conticini per capire che cosa avrei dovuto dimostrare.
Dopo aver visto che -11 rispondeva al problema,
dovevo naturalmente passare a una dimostrazione,
senza calcolatrice o computer.
Gli angoli 33 e 11 mi facevano chiaramente pensare
a una nota relazione trigonometrica:
sen(3a) = 3sen(a)-4sen³(a).
E' stato quindi naturale cercare di provare che:
sen(-11) > sen(33) = 3sen(11)-4sen³(11).
Se fossi riuscito a dimostrare (con carta e penna!) che
sen(-11) = -sen(11) è positivo, avrei poi dimostrato
che sen(-11) > sen(33).
Il passo che tu hai messo in evidenza mi ha permesso
di stabilire che sen(-11) > 0 dal momento che (per
usare i gradi sessagesimali) -630°,25... (cioè -11 radianti)
dà lo stesso seno di 89°,75... (per le note ragioni di
periodicità) e questo seno, ovviamente, è positivo.
La prima disuguaglianza di pi/2 > 4pi-11 > 0 si deduce
facilmente dalla limitazione di Archimede, ma anche
4pi-11 > 0 è di immediata verifica. Il fatto che 4pi-11
(89°,75...) sia compreso fra 0° e 90° gradi assicura
la positività del seno.
Spero di essere stato chiaro, Aethelmyth, e comunque
questo è il ragionamento che ho fatto quando ho visto
il problema.
e io invece ho cannato. eppure on trovo la svista nel ragionamento :I booooh domani con calma ve lo spiego
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