Questione di nasi

[john_doe22661]

E' quella che angustia la famiglia Pinocchi.Il naso del papà Pinocchio misura 40 cm; quello della moglie, Pinocchia, 30 cm mentre quello del loro figlio, Pinocchio misura 20 cm. Il problema è che il capofamiglia vuole installare nella sala da pranzo una tavola circolare sufficientemente grande perché tutti e tre i componenti della famiglia possano sedersi attorno e girare liberamente la testa senza paura di toccarsi con i nasi. Perché questo succeda, il diametro della tavola deve essere più grande di un certo valore.
Qual è questo valore? Si presume che ''l'attaccatura'' di ogni naso stia sulla verticale passante per il bordo della tavola e che sia alla stessa altezza delle altre.

[cenzo1]

Il diametro minimo dovrebbe essere

$175/6sqrt(6)\sim71.443451$

[salvozungri]

A me torna:
[epic fail]

[tex]$32 \sqrt{\frac{5}{3}} \text{ cm}\sim 41.3118\text{ cm}[/tex]

[\epic fail]

[edit]: Confermo il risultato di cenzo , ho combinato un pastrocchio con i dati

[cenzo1]

Propongo una variante del problema.
Le misure dei nasi sono: 40 cm, 30 cm e 10 cm.

Qual è il diametro minimo del tavolo ?

[salvozungri]

@cenzo: mi torna

[tex]\frac{175}{6}\sqrt{6}[/tex].
Toh guarda,lo stesso diametro di prima

spero di non aver fatto nuovamente la figura di cioccolataio

[cenzo1]

"Mathematico":la figura di cioccolataio

Non avevo mai sentito questa espressione, simpatica!..

@Mathematico

il conto non mi torna

Hint:
quanto può essere al massimo la misura del naso di Pinocchio Jr. affinchè vada bene un tavolo di 70 cm di diametro ?

[salvozungri]

"cenzo":
@Mathematico

il conto non mi torna

Hint:
quanto può essere al massimo la misura del naso di Pinocchio Jr. affinchè vada bene un tavolo di 70 cm di diametro ?

Aaaarg, se vedo pinocchio lo prendo a faccettate , è possibile che il risultato sia
[error]

[tex]$\frac{175}{2 \sqrt{6}}[/tex][/error] ?

Mi sa che non so fare i conti, oppure il mio procedimento è errato , ma non mi sembra, ho utilizzato semplici ragionamenti di geometria piana... Se hai tempo/voglia, potresti illustrarmi la tua soluzione?

[edit]: so che c'è un errore, ma non lo trovo

[cenzo1]

"Mathematico":Aaaarg, se vedo pinocchio lo prendo a faccettate

Povero Pinocchio!... gli vuoi segare il naso ?

"Mathematico":Se hai tempo/voglia, potresti illustrarmi la tua soluzione?

Certo, sperando di non aver commesso errori.

L'idea è di provare ad utilizzare un tavolo di diametro minimo di $70$ (40 papà + 30 mamma) disponendo papà e mamma agli estremi di un diametro del tavolo, come in figura seguente.



Per trovare il massimo naso $x$ di Pinocchio ho utilizzato Pitagora:
$(40+x)^2+(30+x)^2=(40+30)^2$, da cui ottengo $x=5*sqrt(97)-35\sim14.24$.

Concludo che se Pinocchio ha naso $10$ cm allora è sufficiente un tavolo di diametro $70$ cm.
(ovviamente solo papà e mamma sono "tangenti")

***
Nel caso precedente (naso Pinocchio 20 cm) la configurazione era diversa, papà e mamma non sono agli estremi di un diametro, i tre Pinocchi sono tra loro tangenti e ai vertici di un triangolo di lati $a=40+30=70$, $b=40+20=60$ e $c=30+20=50$. Tale triangolo (acutangolo) ha semiperimetro $p=90$ ed è inscritto in una circonferenza di diametro $(a*b*c)/(2*sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)))=175/6sqrt(6)$.
Utilizzando la stessa formula con i nasi 40, 30 e 10 si perviene allo stesso risultato $175/6sqrt(6)$ (come tu stesso avevi indicato), ma non è il diametro minimo, come visto precedentemente... da cui mi è venuta l'idea della variante..

[salvozungri]

Ok, devo essere sincero, per il problema da te proposto non ho riflettuto abbastanza. Ingenuamente, ho pensato che procedendo come nel caso precedente si raggiungesse la soluzione ottimale, ma così non è .

Ti ringrazio davvero molto

Ps: quale programma usi per fare i disegni?

[cenzo1]

"Mathematico":Ti ringrazio davvero molto

Prego, ciao

Il disegno l'ho fatto con Geogebra

[xXStephXx]

Eccolo là xD Una volta che conosco i lati, come lo trovo il raggio della circonferenza circoscritta?

[salvozungri]

Per calcolare il raggio

$r= \frac{a b c}{4 A}$ dove $a, b,c$ sono i lati del triangolo, $A$ è l'area del triangolo. Per il calcolo di quest'ultima, è cosa furba usare la formula di Erone:

$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ con $p$ semiperimetro del triangolo.

@cenzo, ancora grazie. Ho iniziato a smanettare con geogebra

[xXStephXx]

Ok erano argomenti che non mi competevano... (allora non ero del tutto fuori strada).
Ora approfondisco anche questa benedetta formula (me la ritrovo ovunque, sta diventando un incubo).

[salvozungri]

"xXStephXx":Ok erano argomenti che non mi competevano... (allora non ero del tutto fuori strada).
Ora approfondisco anche questa benedetta formula (me la ritrovo ovunque, sta diventando un incubo).

No, ti sbagli, è sicuramente alla tua altezza . Quelle sono formule che si studiano in seconda media, ma che si dimenticano facilmente. Il primo esercizio proposto era molto semplice, ma io ho cannato miseramente i conti, quello proposto da cenzo pretendeva un pizzico di ragionamento in più ... che io non ho fatto .

[xXStephXx]

Io non le ho mai studiate, nè alle medie nè al biennio, infatti ero arrivato solo a trovare le dimensioni dei lati del triangolo.

Comunque ora che sono al corrente di questo me le studio di corsa. Anzi, sai se ci sono altre formule della stessa serie?

[salvozungri]

Della stessa serie? Non so cosa tu voglia dire. Quando studierai trigonometria, conoscerai molte formule (molti teoremi ) interessanti riguardanti i triangoli, quindi abbi un po' di pazienza