Quesito facile facile
determinare per quali valori interi positivi di a la seguente espressione assume valori interi
$(a+4)/(a+1)$
$(a+4)/(a+1)$
Risposte
0 e 2?
La funzione , considerata definita solo per $a>0$, ha per codominio l'intervallo aperto di estremi 1 e 4 (è decrescente, all'infinito tende a 1 e in 0 vale 4). Allora assume solo i valori interi 3 (assunto per $a=1/2$) e 2 (assunto per $a=2$). Quindi la risposta è l'unico valore: $a=2$
"Tipper":
0 e 2?
puoi postare il procedimento? anche io sono arrivato a queste uniche soluzioni
Ha ragione luluemicia, visto che zero non è positivo. In ogni caso io ho ragionato così: devi determinare tutti gli $a$ interi positivi per cui quel rapporto è un intero positivo, ovvero
$\frac{a+4}{a+1} = n$, $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$
Risolvendo rispetto ad $a$ si trova
$a = \frac{n-4}{1-n}$
Ma dato che $a > 0$, allora anche $\frac{n-4}{1-n} > 0$, da cui $1 < n < 4$, ovvero $n \in \{2,3\}$. Se $n=2$ allora $a = \frac{-2}{-1} = 2$, ok, se invece $n = 3$, allora $a = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$, che non è intero. Dunque l'unico valore è $a=2$.
$\frac{a+4}{a+1} = n$, $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$
Risolvendo rispetto ad $a$ si trova
$a = \frac{n-4}{1-n}$
Ma dato che $a > 0$, allora anche $\frac{n-4}{1-n} > 0$, da cui $1 < n < 4$, ovvero $n \in \{2,3\}$. Se $n=2$ allora $a = \frac{-2}{-1} = 2$, ok, se invece $n = 3$, allora $a = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$, che non è intero. Dunque l'unico valore è $a=2$.
Oppure: deve verificarsi $a+1 \le (a+4)/2$, dunque $a \le 2$.
grazie per le risposte; ne posto un'altro:
$(a+17)/(2a-3)$ trovare tutti i valori di a per cui questa espressione equivale ad un numero intero (anche negativo!)
scusate la monotonia ma avrei bisogno delle soluzioni dato che non le ho e non posso verificare il mio procedimento....chi può posti anche il procedimento...grazie
$(a+17)/(2a-3)$ trovare tutti i valori di a per cui questa espressione equivale ad un numero intero (anche negativo!)
scusate la monotonia ma avrei bisogno delle soluzioni dato che non le ho e non posso verificare il mio procedimento....chi può posti anche il procedimento...grazie
Ci sono vari modi. Essendo cosi' semplice, puoi risolvere la disequazione $|2a-3|\le(a+17)/2$ e ti trovi con una manciata di casi semplici da verificare a mano.
Per TomSawyer.
Posso chiederti perchè bisogna risolvere la disequazione denominatore $<=$ metà numeratore? C'è un teorema o la trovi tu a intuito?
Posso chiederti perchè bisogna risolvere la disequazione denominatore $<=$ metà numeratore? C'è un teorema o la trovi tu a intuito?
"TomSawyer":
Ci sono vari modi. Essendo cosi' semplice, puoi risolvere la disequazione $|2a-3|\le(a+17)/2$ e ti trovi con una manciata di casi semplici da verificare a mano.
faccio più o meno così poi controllo se a può essere dispari o pari eccetera eccetera.....volevo sapere se era il metodo più veloce o ce ne sono di migliori....
@WiZaRd
Perche' $2a-3$ divida il numeratore, deve essere di sicuro minore di o uguale a (nel peggiore di casi) $(a+17)/2$.
@bestiedda
Per questo esercizio si fa veloce in ogni caso. Un'alternativa sarebbe controllare per quali $a$, $\gcd(a+17,2a-3)=2a-3$.
Perche' $2a-3$ divida il numeratore, deve essere di sicuro minore di o uguale a (nel peggiore di casi) $(a+17)/2$.
@bestiedda
Per questo esercizio si fa veloce in ogni caso. Un'alternativa sarebbe controllare per quali $a$, $\gcd(a+17,2a-3)=2a-3$.
"bestiedda":
determinare per quali valori interi positivi di a la seguente espressione assume valori interi
$(a+4)/(a+1)$
io questo esercizio lo risolverei così:
scriverei $(a+4)/(a+1)$ come $1+3/(a+1)$ e quindi perchè il tutto sia intero si deve avere che $a+1$ deve essere
un divisore di 3. Abbiamo come possibilità quindi che $a+1$ può essere uguale a 3,1,-1,-3.
Quindi come risultato abbiamo a=0,-2,-4,2. L'unico valore positivo è due.
il secondo lo risolverei più o meno con lo stesso metodo...
e quello col quadrato?
$(a^2+3a)/(3a+2)$
$(a^2+3a)/(3a+2)$
Se $(a^2+3a)/(3a+2)$ (1) e' un intero anche $(3a^2+9a)/(3a+2)-a$ (2) sara' un intero(poiche' per ipotesi a e' un intero).
Ogni valore di a per cui la (1) e' un intero rendera' anche la (2) un intero.
Possiamo quindi ricondurci a studiare il nostro caso su (2).
La (2) e' uguale a $(7a)/(3a+2)$.
$3a+2$ divide 7a se e solo se 7a e'congruo a zero modulo 3a+2.Quindi abbiamo:
7a congruo 3a+2 (mod 3a+2)
7a congruo 6a+4 (mod 3a+2)
a congruo 4 (mod 3a+2)
3a congruo 12 (mod 3a+2)
3a congruo 12+3a+2 (mod 3a+2)
quindi ho che 14=0.
Questo e' possibile solo se sono in un gruppo quoziente Z/nZ dove ne' un divisore di 14.
i divisori di 14 sono 1,2,7,14,-1,-2,-7,-14.
i valori di a interi per cui 3a+2 e' uguale a tali numeri sono:
-3 ,-1,0,4
(grazie Hispanico)
Ogni valore di a per cui la (1) e' un intero rendera' anche la (2) un intero.
Possiamo quindi ricondurci a studiare il nostro caso su (2).
La (2) e' uguale a $(7a)/(3a+2)$.
$3a+2$ divide 7a se e solo se 7a e'congruo a zero modulo 3a+2.Quindi abbiamo:
7a congruo 3a+2 (mod 3a+2)
7a congruo 6a+4 (mod 3a+2)
a congruo 4 (mod 3a+2)
3a congruo 12 (mod 3a+2)
3a congruo 12+3a+2 (mod 3a+2)
quindi ho che 14=0.
Questo e' possibile solo se sono in un gruppo quoziente Z/nZ dove ne' un divisore di 14.
i divisori di 14 sono 1,2,7,14,-1,-2,-7,-14.
i valori di a interi per cui 3a+2 e' uguale a tali numeri sono:
-3 ,-1,0,4
(grazie Hispanico)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo