Quesito di x^x
If x is a positive rational number, show that x^x (x elevato alla x..si scrive così?) is irrational unless x is an integer.
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Risposte
In verita' si tratta di un quesito abbastanza noto di cui
riporto la soluzione piu' conosciuta.
Ragioniamo per assurdo e supponiamo che sia
x^x=(m/n)^(m/n)=r/s con n>1 e primo con m e s>1 e primo con r.
Si ha allora:
m^m/n^m=r^n/s^n ovvero
(m^m)*(s^n)=(r^n)*(n^m) =un certo numero A
Essendo n>1, esso avra' un divisore primo h>1 che (supponiamo)
compaia ,nella scomposizione di n, k volte (cioe' n=l*h^k con
l intero).Cio posto si avra' che:
h compare in n^m k*m volte
h compare in m^m 0 volte perche' m ed n sono primi tra loro
h compare in s^n f*n volte dove f e' il numero di volte con cui
il fattore h compare in s.
h compare in r^n 0 volte perche' r ed s sono primi tra loro.
Poiche' A lo si puo' scomporre in un sol modo,deve essere:
k*m=f*n da cui f=k*m/n e poiche' n e' primo con m , ne segue
che n deve dividere k.Pertanto h^n divide h^k e quindi divide
anche n (=l*h^k) ;cio' significa che h^n
In definitiva si giunge ad una contraddizione e quindi x^x
non puo' essere razionale a meno che x non sia intero.
karl.
riporto la soluzione piu' conosciuta.
Ragioniamo per assurdo e supponiamo che sia
x^x=(m/n)^(m/n)=r/s con n>1 e primo con m e s>1 e primo con r.
Si ha allora:
m^m/n^m=r^n/s^n ovvero
(m^m)*(s^n)=(r^n)*(n^m) =un certo numero A
Essendo n>1, esso avra' un divisore primo h>1 che (supponiamo)
compaia ,nella scomposizione di n, k volte (cioe' n=l*h^k con
l intero).Cio posto si avra' che:
h compare in n^m k*m volte
h compare in m^m 0 volte perche' m ed n sono primi tra loro
h compare in s^n f*n volte dove f e' il numero di volte con cui
il fattore h compare in s.
h compare in r^n 0 volte perche' r ed s sono primi tra loro.
Poiche' A lo si puo' scomporre in un sol modo,deve essere:
k*m=f*n da cui f=k*m/n e poiche' n e' primo con m , ne segue
che n deve dividere k.Pertanto h^n divide h^k e quindi divide
anche n (=l*h^k) ;cio' significa che h^n
In definitiva si giunge ad una contraddizione e quindi x^x
non puo' essere razionale a meno che x non sia intero.
karl.
Io ho trovato una soluzione in cui si applica il teorema di Gelfond-Schneider.
x^x = 2
The above result, in conjunction with the Gelfond-Schneider Theorem, can be used to show that the positive real root of x^x = 2 is a transcendental number.
Clearly x^x = 2 does not have an integer solution. Hence, by the above result, x cannot be rational.
Now, using the Gelfond-Schneider Theorem, if x is algebraic and irrational, x^x is transcendental, and so cannot be equal to 2.
Therefore the positive real root of x^x = 2 is transcendental.
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x^x = 2
The above result, in conjunction with the Gelfond-Schneider Theorem, can be used to show that the positive real root of x^x = 2 is a transcendental number.
Clearly x^x = 2 does not have an integer solution. Hence, by the above result, x cannot be rational.
Now, using the Gelfond-Schneider Theorem, if x is algebraic and irrational, x^x is transcendental, and so cannot be equal to 2.
Therefore the positive real root of x^x = 2 is transcendental.
Hold fast
Mi sbagliero' ma il fatto che x^x=2 non abbia
soluzioni intere e' basato proprio sul fatto
che ,se x non e' intero,x^x non puo' essere
razionale.La tua "soluzione" e' in realta'
una conseguenza della mia dimostrazione e non una
verifica alternativa.
karl.
soluzioni intere e' basato proprio sul fatto
che ,se x non e' intero,x^x non puo' essere
razionale.La tua "soluzione" e' in realta'
una conseguenza della mia dimostrazione e non una
verifica alternativa.
karl.
Si è vero è una conseguenza della tua. L'ho postato semplicemente per via dell'applcazione del teorema di Gelfond-Schneider, che per altro non conosco...non ho conoscenze molto approfondite al di fuori del programma scolastico di matematica. Me lo puoi enunciare?...
Ah un altro favore conosci qualche sito interessante con qualche risorsa adatta a me? niente di specifico, matematica in generale, giusto per ampliare un pò le mie conoscenze
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Ah un altro favore conosci qualche sito interessante con qualche risorsa adatta a me? niente di specifico, matematica in generale, giusto per ampliare un pò le mie conoscenze
Hold fast
Teorema di Gelfond-Schneider:
Se a e' algebrico (diverso da 0 da 1) e b e'
algebrico irrazionale ,allora a^b e' trascendente.
Un numero si dice algebrico se e' radice di qualche
polinomio a coefficiente razionali
Un numero si dice trascendente se non e' radice di nessun
polinomio a coefficienti razionali.
Esempi:
Sqrt(2) e' algebrico perche' radice dell'equazione x^2-2=0
ma e' irrazionale perche' non puo' in alcun modo porsi nella
forma m/n.
I numeri p-greca ed e (base dei logaritmi naturali) sono
trascendenti perche' non esiste nessun polinomio a coefficienti
in Q che li abbia come radice.
Per quanto riguarda i siti vai su google e scrivi "math";
ne troverai a decine.
karl.
Se a e' algebrico (diverso da 0 da 1) e b e'
algebrico irrazionale ,allora a^b e' trascendente.
Un numero si dice algebrico se e' radice di qualche
polinomio a coefficiente razionali
Un numero si dice trascendente se non e' radice di nessun
polinomio a coefficienti razionali.
Esempi:
Sqrt(2) e' algebrico perche' radice dell'equazione x^2-2=0
ma e' irrazionale perche' non puo' in alcun modo porsi nella
forma m/n.
I numeri p-greca ed e (base dei logaritmi naturali) sono
trascendenti perche' non esiste nessun polinomio a coefficienti
in Q che li abbia come radice.
Per quanto riguarda i siti vai su google e scrivi "math";
ne troverai a decine.
karl.
Grazie mille!
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