Quesito di matematica riguardante le frazioni irriducibili

[valerocknroll]

Ciao a tutti,ho bisogno del vostro aiuto...
Qualche giorno fa il mio prof di matematica ha dato a tutta la classe il seguente quesito,preso dalla scuola normale superiore:
"C'è un alunno che deve sommare delle frazioni e invece di fare la somma fa 1-(a\b*c\d) .Si sa che 0

Cita

Segnala

---

Risposte

Gabriel6

27 apr 2008, 20:01

Sicuro non sia da aggiungere che $a/b + c/d = 1 - a/b \cdot c/d$?

Cita

Segnala

---

alvinlee881

27 apr 2008, 22:24

Se è come dice Gabriel, direi che le soluzioni sono infinite e tutte della forma $x/y$ e $(y-x)/(y+x)$, con $y!=-x$. In effetti questa condizione su x e y si poteva notare fin da subito, infatti se, per esempio (ma il caso con a e b è analogo), si avesse $d=-c$, avremmo allora che $1-(a/b*(c/-c))=a/b+c/-c$, cioè $1+a/b=a/b-1$, cioè $2=0$, ovviamente impossibile. Inoltre si deve avere che $x!=y$, poichè vige la condizione che nessuno degli $a,b,c,d$ possa essere uguale a zero, mentre in questo caso avremmo che $y-x=0$. Ancora questo lo si poteva notare fin da subito, perchè nel caso di, ad esempio, $c=d$, avremmo che $1-a/b=a/b+1$, cioè $a/b=0$, e non va bene.
Quindi (salvo errori dovuti all'ora, decisamente probabili) direi che, per $x!=y$ e $x!=-y$, $x,y in ZZ$, $mcd(x,y)=1$, ci sono infinite frazioni che risolvono il problema, tutte della forma $x/y$ e $(y-x)/(x+y)$.
Per esempio, se y=5 e x=1, abbiamo che le due frazioni sono $1/5$ e $4/6=2/3$, e difatti $1-(1/5*2/3)=1-2/15=13/15=1/5+2/3$.
Il tutto, ovviamente, se è vero quello che ha detto Gabriel (ma così mi sembra piuttosto facilino, tenendo conto dei problemi tipici della Normale). In ogni caso buonanotte...

Cita

Segnala

---

valerocknroll

28 apr 2008, 11:36

Gabriel,anche io avevo pensato la stessa identica cosa...cioè di porre la somma delle frazioni uguale a 1 meno il prodotto delle frazioni...però bisogna tenere conto anche delle informazioni che il testo ci da...cioè che le frazioni sono irriducibili e che le coppie sono in ordine crescente... quindi le soluzioni di alvinlee88 non mi sembrano accettabili...dato che 4\6 non è un numero irriducibile...io avevo trovato come soluzioni la coppia 1\2;3\9 e 1\2;6\9...però non sono accettabili per lo stesso motivo(infatti 3\9 e 6\9 si possono ridurre).......

Cita

Segnala

---

Gabriel6

28 apr 2008, 13:26

Passi pure quel che dici, ma la questione che ho sollevato riguarda il testo del problema - non la sua soluzione. Non è chiaro, infatti, se si debba assumere che, nonostante l'errore commesso dall'alunno, il risultato delle operazioni calcolate sia corretto, e quindi se sia dato o meno di imporre la condizione $a/b + c/d = 1 - a/b \cdot c/d$ - da cui procedere, sperabilmente, verso la soluzione.

Cita

Segnala

---

alvinlee881

28 apr 2008, 14:15

"valerocknroll":Gabriel,anche io avevo pensato la stessa identica cosa...cioè di porre la somma delle frazioni uguale a 1 meno il prodotto delle frazioni...però bisogna tenere conto anche delle informazioni che il testo ci da...cioè che le frazioni sono irriducibili e che le coppie sono in ordine crescente... quindi le soluzioni di alvinlee88 non mi sembrano accettabili...dato che 4\6 non è un numero irriducibile...io avevo trovato come soluzioni la coppia 1\2;3\9 e 1\2;6\9...però non sono accettabili per lo stesso motivo(infatti 3\9 e 6\9 si possono ridurre).......

Appunto, si riducono e quindi sono accettabili. Come il mio $4/6$, ho scritto che è uguale a $2/3$. La frazione $y-x/(y+x)$ non è detto che sia irriducibile. Quello che ho scritto è un modo per torvare delle frazioni adatte: una volta trovate, se è il caso, si riducono quelle riducibili e ci siamo. La richiesta era o no ( se è giusta l'interpretazione di gabriel-anzi, richiederei a valerorocknroll se il testo è esattamente come l'ha postato o se dice bene gabriel-)trovare almeno 2 frazioni irriducibili tali che $1-(a/b*c/d)=a/b+c/d$, con le varie condizioni?
Eccotele, sono $1/5$ e $2/3$.
E ' probabile che abbia completamente frainteso l'esercizio...

Cita

Segnala

---

Sk_Anonymous

28 apr 2008, 18:52

... $1/7$ e $ 3/4$ oppure $1/9$ e $4/5$...

Cita

Segnala

---

alvinlee881

28 apr 2008, 23:21

beh si appunto sono infinite, il punto è capire se la richeista era questa o no.

Cita

Segnala

---

ViciousGoblin

29 apr 2008, 07:10

Secondo me il problema (sottinteso) è trovare tutte le quadruple $(a,b,c,d)$ in $NN^4$ tale che:
$0< a,b,c,d <10$
$a/b+c/d=1-a/b\cdot c/d$
$a/b$ e $c/d$ frazioni irriducibili
$a/b\leq c/d$

Di sicuro le soluzioni sono un numero finito.
.
.
.
.
In effetti con un po' di calcoli semplici si arriva alla condizione $c/d={b-a}/{b+a}$. (da cui $b>a$).
Mi pare che esaminando tutti i casi possibili (non sono molti tenedo presente che $10>b>a>0$ per le condizioni)
le soluzioni dovrebbero essere (scritte come $a/b,c/d)$
$(1/3 , 1/2)$ ,$( 1/4,3/5) $ $(1/5,2/3)$ $(1/6,5/7)$ $(1/7,3/4)$ $(1/8, 7/9)$ $(1/9,4/5)$ $(2/5,3/7)$ $(2/7,5/9)$
(spero di non aver perso niente)

Non so se c'è un modo più furbo per evitare di enumerare i casi

Cita

Segnala

---

alvinlee881

29 apr 2008, 21:53

Si, quando ho detto che sono infinite intendevo senza le condizioni imposte dal problema: l'ho sparato lì, non so bene perchè, davvero imperdonaibile
Il punto è che nessuno ha detto che debba essere $a/b+c/d=1-a/b*c/d$, più tutte le altre condizioni..Quindi prima di proseguire richiederei all'autore del posto di chiarirci questa parte.

Cita

Segnala

---

valerocknroll

1 mag 2008, 11:32

è esatto tutto quello che ha detto ViciousGoblinEnters...sono quelle le soluzioni del quesito!

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[Gabriel6]

Sicuro non sia da aggiungere che $a/b + c/d = 1 - a/b \cdot c/d$?

[alvinlee881]

Se è come dice Gabriel, direi che le soluzioni sono infinite e tutte della forma $x/y$ e $(y-x)/(y+x)$, con $y!=-x$. In effetti questa condizione su x e y si poteva notare fin da subito, infatti se, per esempio (ma il caso con a e b è analogo), si avesse $d=-c$, avremmo allora che $1-(a/b*(c/-c))=a/b+c/-c$, cioè $1+a/b=a/b-1$, cioè $2=0$, ovviamente impossibile. Inoltre si deve avere che $x!=y$, poichè vige la condizione che nessuno degli $a,b,c,d$ possa essere uguale a zero, mentre in questo caso avremmo che $y-x=0$. Ancora questo lo si poteva notare fin da subito, perchè nel caso di, ad esempio, $c=d$, avremmo che $1-a/b=a/b+1$, cioè $a/b=0$, e non va bene.
Quindi (salvo errori dovuti all'ora, decisamente probabili) direi che, per $x!=y$ e $x!=-y$, $x,y in ZZ$, $mcd(x,y)=1$, ci sono infinite frazioni che risolvono il problema, tutte della forma $x/y$ e $(y-x)/(x+y)$.
Per esempio, se y=5 e x=1, abbiamo che le due frazioni sono $1/5$ e $4/6=2/3$, e difatti $1-(1/5*2/3)=1-2/15=13/15=1/5+2/3$.
Il tutto, ovviamente, se è vero quello che ha detto Gabriel (ma così mi sembra piuttosto facilino, tenendo conto dei problemi tipici della Normale). In ogni caso buonanotte...

[valerocknroll]

Gabriel,anche io avevo pensato la stessa identica cosa...cioè di porre la somma delle frazioni uguale a 1 meno il prodotto delle frazioni...però bisogna tenere conto anche delle informazioni che il testo ci da...cioè che le frazioni sono irriducibili e che le coppie sono in ordine crescente... quindi le soluzioni di alvinlee88 non mi sembrano accettabili...dato che 4\6 non è un numero irriducibile...io avevo trovato come soluzioni la coppia 1\2;3\9 e 1\2;6\9...però non sono accettabili per lo stesso motivo(infatti 3\9 e 6\9 si possono ridurre).......

[Gabriel6]

Passi pure quel che dici, ma la questione che ho sollevato riguarda il testo del problema - non la sua soluzione. Non è chiaro, infatti, se si debba assumere che, nonostante l'errore commesso dall'alunno, il risultato delle operazioni calcolate sia corretto, e quindi se sia dato o meno di imporre la condizione $a/b + c/d = 1 - a/b \cdot c/d$ - da cui procedere, sperabilmente, verso la soluzione.

[alvinlee881]

"valerocknroll":Gabriel,anche io avevo pensato la stessa identica cosa...cioè di porre la somma delle frazioni uguale a 1 meno il prodotto delle frazioni...però bisogna tenere conto anche delle informazioni che il testo ci da...cioè che le frazioni sono irriducibili e che le coppie sono in ordine crescente... quindi le soluzioni di alvinlee88 non mi sembrano accettabili...dato che 4\6 non è un numero irriducibile...io avevo trovato come soluzioni la coppia 1\2;3\9 e 1\2;6\9...però non sono accettabili per lo stesso motivo(infatti 3\9 e 6\9 si possono ridurre).......

Appunto, si riducono e quindi sono accettabili. Come il mio $4/6$, ho scritto che è uguale a $2/3$. La frazione $y-x/(y+x)$ non è detto che sia irriducibile. Quello che ho scritto è un modo per torvare delle frazioni adatte: una volta trovate, se è il caso, si riducono quelle riducibili e ci siamo. La richiesta era o no ( se è giusta l'interpretazione di gabriel-anzi, richiederei a valerorocknroll se il testo è esattamente come l'ha postato o se dice bene gabriel-)trovare almeno 2 frazioni irriducibili tali che $1-(a/b*c/d)=a/b+c/d$, con le varie condizioni?
Eccotele, sono $1/5$ e $2/3$.
E ' probabile che abbia completamente frainteso l'esercizio...

[Sk_Anonymous]

... $1/7$ e $ 3/4$ oppure $1/9$ e $4/5$...

[alvinlee881]

beh si appunto sono infinite, il punto è capire se la richeista era questa o no.

[ViciousGoblin]

Secondo me il problema (sottinteso) è trovare tutte le quadruple $(a,b,c,d)$ in $NN^4$ tale che:
$0< a,b,c,d <10$
$a/b+c/d=1-a/b\cdot c/d$
$a/b$ e $c/d$ frazioni irriducibili
$a/b\leq c/d$

Di sicuro le soluzioni sono un numero finito.
.
.
.
.
In effetti con un po' di calcoli semplici si arriva alla condizione $c/d={b-a}/{b+a}$. (da cui $b>a$).
Mi pare che esaminando tutti i casi possibili (non sono molti tenedo presente che $10>b>a>0$ per le condizioni)
le soluzioni dovrebbero essere (scritte come $a/b,c/d)$
$(1/3 , 1/2)$ ,$( 1/4,3/5) $ $(1/5,2/3)$ $(1/6,5/7)$ $(1/7,3/4)$ $(1/8, 7/9)$ $(1/9,4/5)$ $(2/5,3/7)$ $(2/7,5/9)$
(spero di non aver perso niente)

Non so se c'è un modo più furbo per evitare di enumerare i casi

[alvinlee881]

Si, quando ho detto che sono infinite intendevo senza le condizioni imposte dal problema: l'ho sparato lì, non so bene perchè, davvero imperdonaibile
Il punto è che nessuno ha detto che debba essere $a/b+c/d=1-a/b*c/d$, più tutte le altre condizioni..Quindi prima di proseguire richiederei all'autore del posto di chiarirci questa parte.

[valerocknroll]

è esatto tutto quello che ha detto ViciousGoblinEnters...sono quelle le soluzioni del quesito!