Quesito di G. Archimede, non mi torna
Salve a tutti, vorrei mostrarvi questo problema dai Giochi di Archimede di diversi anni fa.
Sia $X$ un insieme di numeri interi positivi. Si sa che $X$ contiene almeno un elemento
maggiore di 1 e che, tutte le volte che contiene un certo numero $n$, contiene anche
tutti i numeri maggiori di $n$ ad eccezione, eventualmente, dei multipli di n: Quale
delle seguenti affermazioni è certamente corretta?
(A) $X$ è un insieme finito
(B) l'insieme $X$ e l'insieme degli interi positivi che non appartengono ad $X$ sono
entrambi infiniti
(C) $X$ contiene tutti i numeri primi
(D) esiste un numero $m$ tale che $X$ contiene tutti gli interi maggiori di $m$
(E) $X$ è uguale all'insieme di tutti gli interi positivi.
Nel giro di poco ho scartato subito la A,C,E.
Riflettendo su questa frase
tutte le volte che contiene un certo numero $n$, contiene anche
tutti i numeri maggiori di $n$ ad eccezione, eventualmente, dei multipli di n
ho pensato che se l'insieme contiene un certo $n>0$ allora per ipotesi conterrà anche $n+1$, $n+2$, ecc.. ma non i multipli, quindi sono esclusi
$2n$ $3n$ $4n$ ecc..
Quindi sono infiniti sia i numeri appartenenti a $X$ sia quelli non appartenenti.
Invece la soluzione corretta riportata è la D.
Dove è che sbaglio?
Grazie anticipatamente, buona a Domenica tutti.
Sia $X$ un insieme di numeri interi positivi. Si sa che $X$ contiene almeno un elemento
maggiore di 1 e che, tutte le volte che contiene un certo numero $n$, contiene anche
tutti i numeri maggiori di $n$ ad eccezione, eventualmente, dei multipli di n: Quale
delle seguenti affermazioni è certamente corretta?
(A) $X$ è un insieme finito
(B) l'insieme $X$ e l'insieme degli interi positivi che non appartengono ad $X$ sono
entrambi infiniti
(C) $X$ contiene tutti i numeri primi
(D) esiste un numero $m$ tale che $X$ contiene tutti gli interi maggiori di $m$
(E) $X$ è uguale all'insieme di tutti gli interi positivi.
Nel giro di poco ho scartato subito la A,C,E.
Riflettendo su questa frase
tutte le volte che contiene un certo numero $n$, contiene anche
tutti i numeri maggiori di $n$ ad eccezione, eventualmente, dei multipli di n
ho pensato che se l'insieme contiene un certo $n>0$ allora per ipotesi conterrà anche $n+1$, $n+2$, ecc.. ma non i multipli, quindi sono esclusi
$2n$ $3n$ $4n$ ecc..
Quindi sono infiniti sia i numeri appartenenti a $X$ sia quelli non appartenenti.
Invece la soluzione corretta riportata è la D.
Dove è che sbaglio?
Grazie anticipatamente, buona a Domenica tutti.
Risposte
se n appartiene ad X come dici te conterrà n+1, n+2, n+3....
ma (forse) non i suoi multipli 2n,3n etc...
ora però 2n è un intero tale che 2n>n+1 (se n>1 come nel nostro caso), quindi 2n appartiene ad X in quanto maggiore di n+1 e non suo multiplo. ragionando in questo modo, credo, si possa verificare che tutti i numeri maggiori di n appartengono all'insieme. spero non aver scritto stupidaggini
ma (forse) non i suoi multipli 2n,3n etc...
ora però 2n è un intero tale che 2n>n+1 (se n>1 come nel nostro caso), quindi 2n appartiene ad X in quanto maggiore di n+1 e non suo multiplo. ragionando in questo modo, credo, si possa verificare che tutti i numeri maggiori di n appartengono all'insieme. spero non aver scritto stupidaggini
Aveo pensato anche io a una cosa simile..
Seguendo tale ragionamento, mi sembra che le due ipotesi (il contenere tutti i numeri maggiori di $n+1$, e l'eccezione dei multipli di $n$) facciano a pugni tra di loro.
D'altra parte se la risposta giusta è la D, come è d'altra parte, non puoi che avere ragione.
Ciao & grazie per la risposta.
Seguendo tale ragionamento, mi sembra che le due ipotesi (il contenere tutti i numeri maggiori di $n+1$, e l'eccezione dei multipli di $n$) facciano a pugni tra di loro.
D'altra parte se la risposta giusta è la D, come è d'altra parte, non puoi che avere ragione.
Ciao & grazie per la risposta.
Se $n\in X$, allora anche $n+1 \in X$, quindi ragionando induttivamente all'infinito...
"TomSawyer":
Se $n\in X$, allora anche $n+1 \in X$, quindi ragionando induttivamente all'infinito...
questa mi sembra decisamente la risposta migliore
"TomSawyer":
Se $n\in X$, allora anche $n+1 \in X$, quindi ragionando induttivamente all'infinito...
mmm..
Perdonami, mi sembra che la tua risposta così esclude solo che l'insieme sia finito (non so se volevi intendere anche altro).
Da $n$ passi a $n+1$, andando avanti che succede quando giungi a $2n$?
Pensi anche tu che quanto detto da rubik sia valido?
Ciao
Per "induttivamente", intendevo proseguire con lo stesso ragionamento anche per $n+1$, poi per $n+2$ etc.
La (D) e' vera.
Quell' "eventualmente" mi ha mandato nel panico
E' quello che dicevamo io e Rubik .
.
"TomSawyer":
E' quello che dicevamo io e Rubik
Si', certo.
Va bene.
Vi ringrazio a tutti per il supporto.
Ciao
Vi ringrazio a tutti per il supporto.
Ciao
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