Quesito
Siano $p>1$ , $q>1$ numeri interi e sia $x>0$ un numero reale.
(a) Quale condizione su $p$ e $q$ garantisce che se $x^(p)$ e $x^(q)$ sono numeri interi allora $x$ stesso è intero?
(b) Quale condizione su $p$ e $q$ garantisce che se $x^(p)$ e $x^(q)$ sono numeri razionali allora $x$ stesso è razionale?
Io avevo pensato di porre come condizione $q=p+1$ sia al punto (a) che al punto (b)... avete qualche altra idea?
tnx!
(a) Quale condizione su $p$ e $q$ garantisce che se $x^(p)$ e $x^(q)$ sono numeri interi allora $x$ stesso è intero?
(b) Quale condizione su $p$ e $q$ garantisce che se $x^(p)$ e $x^(q)$ sono numeri razionali allora $x$ stesso è razionale?
Io avevo pensato di porre come condizione $q=p+1$ sia al punto (a) che al punto (b)... avete qualche altra idea?
tnx!
Risposte
La (a) mi sembra che valga $AA p,q$, poichè qualunque sia l'esponente, la parte decimale di un numero elevato a potenza $NN > 1$ aumenta. Lo stesso sembrerebbe per la (b) anche perchè se x è razionale, lo è anche se lo eleviamo a potenza.
C'è qualcosa che non va nei miei ragionamenti?
C'è qualcosa che non va nei miei ragionamenti?
"Aethelmyth":
La (a) mi sembra che valga $AA p,q$, poichè qualunque sia l'esponente, la parte decimale di un numero elevato a potenza $NN > 1$ aumenta. Lo stesso sembrerebbe per la (b) anche perchè se x è razionale, lo è anche se lo eleviamo a potenza.
C'è qualcosa che non va nei miei ragionamenti?
$x$ è un numero reale...
perciò se ad esempio $x$ è radice di 2 elevato a 2 è 2, elevato a 4 è 4... perciò per $p=2$ e $q=4$ si ha che $x^(p)$ e $x^(q)$ sono entrambi naturali... perciò porre $q=p+1$ potrebbe garantire che se $x^(p)$ e $x^(q)$ sono naturali, anche $x$ lo è.
della 2 sono incerto se valga lo stesso o no...
Azz.. ho proprio saltato a piè pari le radici 
Allora è un po' più complicato. Stavo pensando però che se $x^p$=2, a meno che $p$ valga 1 (e non può per ipotesi), x non è intero qualunque siano $p$ e $q$. Quindi mi sembra che nessuna condizione "garantisce" che se $x^p$ e $x^q$ sono interi lo è anche $x$, e lo stesso per la seconda domanda...
Allora è un po' più complicato. Stavo pensando però che se $x^p$=2, a meno che $p$ valga 1 (e non può per ipotesi), x non è intero qualunque siano $p$ e $q$. Quindi mi sembra che nessuna condizione "garantisce" che se $x^p$ e $x^q$ sono interi lo è anche $x$, e lo stesso per la seconda domanda...
"cdr89":
Io avevo pensato di porre come condizione $q=p+1$ sia al punto (a) che al punto (b)... avete qualche altra idea?
Giusto. Sarebbe stato sufficiente anche imporre $p$ e $q$ primi fra loro.
"fields":
[quote="cdr89"]Io avevo pensato di porre come condizione $q=p+1$ sia al punto (a) che al punto (b)... avete qualche altra idea?
Giusto. Sarebbe stato sufficiente anche imporre $p$ e $q$ primi fra loro.[/quote]
eggià... nn c avevo pensato ^_^
nn vi seguo... è proprio vero che il cervello va tenuto in allenamento Forse ho inteso male il testo...
"Aethelmyth":
:( nn vi seguo... è proprio vero che il cervello va tenuto in allenamento
$x^p$ (1)
e
$x^q$ (2)
sono interi per ipotesi.
Ponendo
$q=p+1$
la (2) diventa
$x^q=x^(p+1)=x*x^p$
$x^q=x*x^p$
$x^p$ è intero per ipotesi, $x^q$ idem, e di conseguenza $x$ non può che essere intero.
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