Quesito

[lunatica]

Ciao a tutti,
vi propongo questo quesito ( accessibile a tutti) sperando che vi possiate divertire

Determinare tutti i valori di m, n, p tali che p^n+144=m^2 con m e n interi positivi e p primo.


Obelix

[Sk_Anonymous]

Dev'essere $p^n = (m-12)(m+12)$, con $m \ge 13$. Perciò esistono $a,b \in NN$, con $a < b$ ed $a+b = n$, tali che $m-12 = p^a$ ed $m+12 = p^b$, per via della fattorizzazione unica degli interi. Ne viene $p^a(p^{b-a}-1) = 24$. Se $a = 0$, questo comporta $p^b = 25$, i.e. $p = 5$, $n = b = 2$ ed $m = 13$. Se invece $a > 0$, necessariamente $p = 2$ oppure $p = 3$. Nel primo caso $a = 3$ e $2^{b-3} = 4$, i.e. $b = 5$, $n = a+b = 8$ ed $m = 20$. Nel secondo, $a = 1$ e $3^{b-1} = 9$, i.e. $b = 3$, $n = a+b = 4$ ed $m = 15$.