Quesiti vari 2
Sono arrivato alla frutta…ecco gli ultimi quesiti che propongo.
1) Un traghetto parte dal porto di Napoli per raggiungere quello di Palermo e, contemporaneamente, un altro traghetto parte da Palermo per Napoli. Il traghetto partito da Napoli arriva a destinazione 72 minuti prima dell’altro. Le navi si sono incrociate quando erano a 150 km da Palermo , e a 170 km da Napoli. Supponendo che entrambe abbiano navigato a velocità costante, quanto è durata la traversata per i passeggeri sbarcati a Palermo?
(a) 8 ore e 40 minuti ; (b) 9 ore ; (c) 10 ore e 15 minuti ; (d) 12 ore.
2) Nel piano cartesiano si tracciano le rette di equazione $y=mx+q$ e $y=nx+p$ dove i numeri m ,q, n , p vengono stabiliti lanciando quattro volte un dado non truccato. Qual è la probabilità che le due rette abbiano uno e un solo punto comune?
(a) $1/2$ ; (b) $2/3$ ; (c) $5/6$ ; (d) $(35)/(36)$
3) Diciamo che due numeri interi positivi sono imparentati se il loro prodotto è un multiplo della loro somma. Sia $h$ un numero intero. È vero che, se $a$ e $b$ sono imparentati, allora anche $ha$ e $hb$ sono imparentati? È vero che, se $ha$ e $hb$ sono imparentati, allora anche $a$ e $b$ lo sono? È vero che per ogni coppia di numeri interi positivi $a$ e $b$ esiste un $h$ tale che $ha$ e $hb$ sono imparentati? Si dimostri infine che, se due numeri $a$ e $b$ sono imparentati, allora $a^2+b^2$ è un multiplo di $a+b$.
4) Una piramide a base quadrata ha per facce laterali quattro triangoli equilateri. Se ogni spigolo della piramide ha lunghezza unitaria, qual è la lunghezza del raggio della sfera circoscritta alla piramide?
5) Di un gruppo di persone si sa che “tutti i maschi sono maggiorenni”. Se ne può dedurre che:
(a) tutte le persone maggiorenni sono maschi
(b) tutte le femmine sono minorenni
(c) tutte le persone minorenni sono femmine
(d) tutte le femmine sono maggiorenni
(e) tutte le persone maggiorenni sono femmine
6) Un triangolo isoscele ABC di base BC ha gli angoli alla base di 80°.
Sul segmento AB si prenda un punto F tale che angolo FCB =50°, mentre sul segmento AC si prenda un punto E tale che angolo EBC = 60°. Determinare l’ampiezza dell’angolo BEF.
P. S. Tra tutti questi quesiti ce n’è uno impegnativo…ma quale?
1) Un traghetto parte dal porto di Napoli per raggiungere quello di Palermo e, contemporaneamente, un altro traghetto parte da Palermo per Napoli. Il traghetto partito da Napoli arriva a destinazione 72 minuti prima dell’altro. Le navi si sono incrociate quando erano a 150 km da Palermo , e a 170 km da Napoli. Supponendo che entrambe abbiano navigato a velocità costante, quanto è durata la traversata per i passeggeri sbarcati a Palermo?
(a) 8 ore e 40 minuti ; (b) 9 ore ; (c) 10 ore e 15 minuti ; (d) 12 ore.
2) Nel piano cartesiano si tracciano le rette di equazione $y=mx+q$ e $y=nx+p$ dove i numeri m ,q, n , p vengono stabiliti lanciando quattro volte un dado non truccato. Qual è la probabilità che le due rette abbiano uno e un solo punto comune?
(a) $1/2$ ; (b) $2/3$ ; (c) $5/6$ ; (d) $(35)/(36)$
3) Diciamo che due numeri interi positivi sono imparentati se il loro prodotto è un multiplo della loro somma. Sia $h$ un numero intero. È vero che, se $a$ e $b$ sono imparentati, allora anche $ha$ e $hb$ sono imparentati? È vero che, se $ha$ e $hb$ sono imparentati, allora anche $a$ e $b$ lo sono? È vero che per ogni coppia di numeri interi positivi $a$ e $b$ esiste un $h$ tale che $ha$ e $hb$ sono imparentati? Si dimostri infine che, se due numeri $a$ e $b$ sono imparentati, allora $a^2+b^2$ è un multiplo di $a+b$.
4) Una piramide a base quadrata ha per facce laterali quattro triangoli equilateri. Se ogni spigolo della piramide ha lunghezza unitaria, qual è la lunghezza del raggio della sfera circoscritta alla piramide?
5) Di un gruppo di persone si sa che “tutti i maschi sono maggiorenni”. Se ne può dedurre che:
(a) tutte le persone maggiorenni sono maschi
(b) tutte le femmine sono minorenni
(c) tutte le persone minorenni sono femmine
(d) tutte le femmine sono maggiorenni
(e) tutte le persone maggiorenni sono femmine
6) Un triangolo isoscele ABC di base BC ha gli angoli alla base di 80°.
Sul segmento AB si prenda un punto F tale che angolo FCB =50°, mentre sul segmento AC si prenda un punto E tale che angolo EBC = 60°. Determinare l’ampiezza dell’angolo BEF.
P. S. Tra tutti questi quesiti ce n’è uno impegnativo…ma quale?
Risposte
2) Hanno un solo punto in comune se non sono
parallele, ovvero se i loro coeff. angolari
sono diversi, quindi per $m!=n$. Dato che
questi possono essere o uguali o diversi,
la probabilità è $1/2$.
P.S. Scusate il momento di euforia ma ho appena
saputo che ho preso 30 al primo esonero
di Informatica I!!!
parallele, ovvero se i loro coeff. angolari
sono diversi, quindi per $m!=n$. Dato che
questi possono essere o uguali o diversi,
la probabilità è $1/2$.
P.S. Scusate il momento di euforia ma ho appena
saputo che ho preso 30 al primo esonero
di Informatica I!!!
(6) angolo BEF = 30°
complimenti a fireball per il 30, ma la risposta non è 1/2.
@leonardo come hai fatto a dire che è 30° ?
@leonardo come hai fatto a dire che è 30° ?
Giusto... Scusa, non avevo proprio letto il lancio
del dado effettuato 4 volte!!
del dado effettuato 4 volte!!
Direi $5/6$ ...
4) $ R=sqrt2/2$
5) Direi la c.
5) Direi la c.
5) C
fireball , MaMo , Crook ok! tutto giusto!
i quesiti superstiti sono :
1) non banale ma fattibile
3) non banale ma fattibile
6) ostico
leonardo effettivamente ha trovato l'angolo però non credo che lo abbia dimostrato tenendo presente che ha risposto in cosi' poco tempo (@leonardo se lo hai dimostrato posta il ragionamento!!).
Pertanto se qualcuno lo risolve è meglio se spiega il ragionamento
i quesiti superstiti sono :
1) non banale ma fattibile
3) non banale ma fattibile
6) ostico
leonardo effettivamente ha trovato l'angolo però non credo che lo abbia dimostrato tenendo presente che ha risposto in cosi' poco tempo (@leonardo se lo hai dimostrato posta il ragionamento!!).
Pertanto se qualcuno lo risolve è meglio se spiega il ragionamento
come hai fatto a dire che angolo EFC = 80° ?
"Piera":
come hai fatto a dire che angolo EFC = 80° ?
Modificato. Credo che ora sia più chiaro!
davvero scusami, ma io continuo a non capire:
EFA = 50° perchè?
EFA = 50° perchè?
N ° 1
Siano x ed y (x>y) le velocita' dei due traghetti.All'incrocio e' passato
lo stesso tempo e quindi:
(1) $170/x=150/y$
Inoltre risulta :
(2) $320/y-320/x=6/5$ ( ho ridotto i minuti in ore)
Risolvendo il sistema di (1) e (2) si ottiene $x=320/9$ e quindi
il tempo totale di traversata del traghetto da Napoli a Palermo e':
$t=(320/(320//9))^h=9^h$
Archimede
Siano x ed y (x>y) le velocita' dei due traghetti.All'incrocio e' passato
lo stesso tempo e quindi:
(1) $170/x=150/y$
Inoltre risulta :
(2) $320/y-320/x=6/5$ ( ho ridotto i minuti in ore)
Risolvendo il sistema di (1) e (2) si ottiene $x=320/9$ e quindi
il tempo totale di traversata del traghetto da Napoli a Palermo e':
$t=(320/(320//9))^h=9^h$
Archimede
N° 6
(La figura mi e' venuta un po' sbilenca !).
Conduciamo la parallela EG a BC ottenendo cosi' ,per i dati del problema,due
triangoli equilateri BHC e GHE e quindi HB=BC.Ora e' BCF=BFC=50°
e quindi BC=BF->HB=BF.Ne viene che BHF e' isoscele su FH e dunque
BHF=BFH=(180°-20°)/2=80°
Ora nel triangolo GBC e' CBG+BCG=80°+60°=140° e dunque:
BGC=40°=FGH.
Ne segue:
FHG=180°-BHC-BHF=180°-60°-80°=40°=FGH
Pertanto i due triangoli FGH e EGH sono entrambi isosceli su GH e quindi EF
e' la comune bisettrice.In conclusione BEF=GEH/2=60°/2=30°
Archimede
P.S.
Il N° 3 e ' una pura questione di calcoli.
(La figura mi e' venuta un po' sbilenca !).
Conduciamo la parallela EG a BC ottenendo cosi' ,per i dati del problema,due
triangoli equilateri BHC e GHE e quindi HB=BC.Ora e' BCF=BFC=50°
e quindi BC=BF->HB=BF.Ne viene che BHF e' isoscele su FH e dunque
BHF=BFH=(180°-20°)/2=80°
Ora nel triangolo GBC e' CBG+BCG=80°+60°=140° e dunque:
BGC=40°=FGH.
Ne segue:
FHG=180°-BHC-BHF=180°-60°-80°=40°=FGH
Pertanto i due triangoli FGH e EGH sono entrambi isosceli su GH e quindi EF
e' la comune bisettrice.In conclusione BEF=GEH/2=60°/2=30°
Archimede
P.S.
Il N° 3 e ' una pura questione di calcoli.
archimede, fattelo dire, sei un fenomeno!!
alcuni dei quesiti proposti si possono trovare con le relative soluzioni qui:
http://www.lemonnier.it/riviste/archime ... am2004.pdf
visto che me ne ero dimenticato:
quel problema delle olimpiadi di matematica inglesi che ho proposto qualche mese fa si trova qui sotto a pag. 24 insieme a tanti altri problemi interessanti
http://www.bmoc.maths.org/home/bmolot.pdf
alcuni dei quesiti proposti si possono trovare con le relative soluzioni qui:
http://www.lemonnier.it/riviste/archime ... am2004.pdf
visto che me ne ero dimenticato:
quel problema delle olimpiadi di matematica inglesi che ho proposto qualche mese fa si trova qui sotto a pag. 24 insieme a tanti altri problemi interessanti
http://www.bmoc.maths.org/home/bmolot.pdf
@Alessandro
Ti ringrazio per gli interessanti link e..per l'apprezzamento
ma non esageriamo: spesso si tratta solo di esperienza (e a volte
anche di un po' di c**o!)
Poiche' ti vedo interessato vorrei chiederti un parere sulle risposte che
ho dato a Jeko sulla convergenza delle serie e sull'uso (per me improprio)
di Taylor a tal riguardo.Ci terrei ad una tua opinione sull'argomento.
Ciao.
Archimede
Ti ringrazio per gli interessanti link e..per l'apprezzamento
ma non esageriamo: spesso si tratta solo di esperienza (e a volte
anche di un po' di c**o!)
Poiche' ti vedo interessato vorrei chiederti un parere sulle risposte che
ho dato a Jeko sulla convergenza delle serie e sull'uso (per me improprio)
di Taylor a tal riguardo.Ci terrei ad una tua opinione sull'argomento.
Ciao.
Archimede
la formula di Taylor si può usare anche per le successioni (su questo sono sicuro), purchè la successione sia infinitesima
cioè se $e^x = 1 + x + o(x)$ per x-->0
allora $e^(1/(n))=1+1/n+o(1/n)$ per n-->+infinito (1/n è infinitesima)
sperando di non dire cavolate, credo che questo derivi dal teorema di collegamento tra limiti di funzioni e di successioni, cioè
se lim (e^x -1-x)/x =0 , quindi e^x -1-x è un o(x)
allora lim [e^(1/n) -1 -1/n]/1/n =0 in questo caso e^(1/n) -1 -1/n sarà un o(1/n)
cioè se $e^x = 1 + x + o(x)$ per x-->0
allora $e^(1/(n))=1+1/n+o(1/n)$ per n-->+infinito (1/n è infinitesima)
sperando di non dire cavolate, credo che questo derivi dal teorema di collegamento tra limiti di funzioni e di successioni, cioè
se lim (e^x -1-x)/x =0 , quindi e^x -1-x è un o(x)
allora lim [e^(1/n) -1 -1/n]/1/n =0 in questo caso e^(1/n) -1 -1/n sarà un o(1/n)
oppure molto più semplicemente:
se $e^x = 1 + x + o(x)$ in un intorno I di zero, allora ponendo x=1/n ( che per n sufficientemente grande sarà contenuto in I), avremo $e^(1/(n))=1+1/n+o(1/n)$
se $e^x = 1 + x + o(x)$ in un intorno I di zero, allora ponendo x=1/n ( che per n sufficientemente grande sarà contenuto in I), avremo $e^(1/(n))=1+1/n+o(1/n)$
"Piera":
3) Diciamo che due numeri interi positivi sono imparentati se il loro prodotto è un multiplo della loro somma. Sia $h$ un numero intero. È vero che, se $a$ e $b$ sono imparentati, allora anche $ha$ e $hb$ sono imparentati? [...]
Se $a$ e $b$ sono imparentati, esiste per definizione $k \in \mathbb{Z}$ tale che $ab = (a+b)k$, perciocché $ah \cdot bh = (ah + bh)\cdot hk$, i.e. $ah$ e $bh$ sono anch'essi imparentati.
"Piera":
È vero che, se $ha$ e $hb$ sono imparentati, allora anche $a$ e $b$ lo sono? È vero che per ogni coppia di numeri interi positivi $a$ e $b$ esiste un $h$ tale che $ha$ e $hb$ sono imparentati?
Assolutamente no! Si prendano ad es. $a = 3$, $b = 1$ ed $h = 4$. Allora $ah + bh = 16$ e $ah \cdot bh = 48$, per cui $ah$ e $bh$ sono imparentati. Ciò nondimeno $a + b = 4$ ed $ab = 3$, per cui lo stesso non può dirsi per $a$ e $b$.
"Piera":
Si dimostri infine che, se due numeri $a$ e $b$ sono imparentati, allora $a^2+b^2$ è un multiplo di $a+b$.
Anche questo è banale! Come già si è osservato, se $a$ e $b$ sono imparentati, esiste $k \in \mathbb{Z}$ tale che $ab = (a+b)k$. Dunque $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - ab = (a+b)^2 - (a+b)k = (a+b-k)(a+b)$, e perciò $(a+b) \mid (a^2 + b^2)$, q.e.d.
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