Quattro interi

[FreddyKruger]

Determi nare tutte le quaterne di interi $a,b,c,d$ tali che:
$a^2+b^2+c^2=7d^2$

[dan952]

Direi che è un classico problema da risolvere applicando il metodo della discesa infinita di Fermat.

Supponiamo che la quaterna $(a_0,b_0,c_0,d_0)$ sia la minima soluzione non banale, poiché $a^2 -= 0, 1,2\ o\ 4\ mod 7$, dunque $a^2+b^2+c^2=0, 1, 2, 3, 4, 5\ o\ 6\ mod 7$ da qui deduciamo che $7|a_0, b_0\ e\ c_0$, quindi possiamo scrivere $a_0=7a_1$, $b_0=7b_1$ e $c_0=7c_1$, sostituendo l'equazione diofantea diventa:
$$7d_0^2=49(a_1^2+b_1^2+c_1^2) \Leftrightarrow d_0^2=7(a_1^2+b_1^2+c_1^2)$$
Dunque $7|d_0^2 \Rightarrow d_0=7d_1$, da cui si ha:
$$7d_1^2=a_1^2+b_1^2+c_1^2$$
È chiaro che la nuova quaterna $(a_1,b_1,c_1,d_1)$ è formata da interi positivi minori della precedente ($a_1

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[FreddyKruger]

"dan95":$a^2 -= 0, 1\ e\ 4\ mod 7$

Aspetta,qui hai elencato tutti i residui quadratico mod7 o sto sbagliando? perchè in quel caso $3^2 \equiv 2 mod7$

[dan952]

Beh si...allora devo ricontrollare

[FreddyKruger]

"dan95":poiché $a^2 -= 0, 1,2\ o\ 4\ mod 7$, dunque $a^2+b^2+c^2=0, 1, 2, 3, 4, 5\ o\ 6\ mod 7$

ok

"dan95": da qui deduciamo che $7|a_0, b_0\ e\ c_0$

ehm perchè questa cosa? potrebbe essere che $ a^2\equiv 4,b^2\equiv 2,c^2\equiv 1$

[dan952]

No in realtà ho modificato solo l'errore che mi hai fatto notare e ho messo "o" al posto di "e", quindi non ho ricontrollato ancora...
Ma l'hai risolto tu?

[FreddyKruger]

No, non l'ho risolto,stavo un po' smanettando con le congruenze per vedere se effettivamente l'uica soluzione è 0,0,0,0 perchè mi era venuto in mente subito,ma non ho finito

[Pachisi]

Forse sbaglio, ma dovrebbe venire con $ mod 3$.

[FreddyKruger]

Come è l'idea per farlo venire mod3?

[xXStephXx]

modulo 8

[axpgn]

Cioè? (per quelli come me ... )

Sono sicuro che affinché esista soluzione, $d$ deve essere multiplo di $3$ e quindi la somma dei tre quadrati deve essere divisibile per $63$ quindi che facciamo? modulo $63$ ?

Cordialmente, Alex

[Pachisi]

In effetti hai ragione, mi sono sbagliato. $mod 3$ non viene