Quattro incognite
Determinare tutte le quaterne $(a, b, n, p$) di interi positivi in cui $p$ è un numero primo e
$a^3 + b^3 = p^n$
$a^3 + b^3 = p^n$
Risposte
Sicuramente tralascerò non so quanti casi, visto che temo ne abbia parecchi xD
Con $p$ diverso da $3$. Ho che:
$a^3+b^3=p^n$ ovvero $(a+b)(a^2-ab+b^2)=p^n$
Entrambi i fattori sono potenze di $p$. Uno è $p^k$, l'altro è [tex]p^{2k}-3ab=p^h[/tex]
Uno tra $a$ e $b$ deve essere divisibile per $p$ di conseguenza anche l'altro.
Quindi divido tutto per $p^3$ e ripeto quest'operazione fino a quando avrò l'esponente di $p$ minore di $3$.
Quindi ora ho solo $3$ casi:
$a^3+b^3 = p^0$ ovviamente non da soluzioni.
$a^3+b^3=p$ Da cui siccome non è possibile che entrambi i fattori contegano $p$ uno dei due deve essere uguali ad $1$. Quindi abbiamo $(a^2-ab+b^2)=1$ da cui $a=1$ e $b=1$. Da cui $p=2$. Siccome ho diviso molte volte per $2$ ho che le soluzioni sono $a=2^x$, $b=2^x$, $p=2$, $n=2x+1$.
$a^3+b^3=p^2$ non da soluzioni perchè con lo stesso procedimento di prima si ottiene LHS multiplo di $p^3$.
Nel caso in cui $p=3$
Anzitutto $n>1$ altrimenti non ci sono soluzioni.
Quindi abbiamo $3^(2k)-3ab=3^h$ Se entrambe le potenze di 3 hanno esponente maggiore di 1, si ha che 3ab deve essere divisibile per 9, quindi uno tra a e b è divisibile per 3 e di conseguenza pure l'altro e si rifà la stessa cosa di prima.
Altrimenti abbiamo che una delle due è uguale a 3. Quindi $a=1, b=2$ o viceversa ed è soluzione.
Quindi siccome abbiamo diviso per $3$ diverse volte sono soluzioni anche $a=3^x, b=2*3^x, p=3, n=3x+2$
Scusami se ho scritto in modo pedestre ma proprio non avevo voglia xDDD
Con $p$ diverso da $3$. Ho che:
$a^3+b^3=p^n$ ovvero $(a+b)(a^2-ab+b^2)=p^n$
Entrambi i fattori sono potenze di $p$. Uno è $p^k$, l'altro è [tex]p^{2k}-3ab=p^h[/tex]
Uno tra $a$ e $b$ deve essere divisibile per $p$ di conseguenza anche l'altro.
Quindi divido tutto per $p^3$ e ripeto quest'operazione fino a quando avrò l'esponente di $p$ minore di $3$.
Quindi ora ho solo $3$ casi:
$a^3+b^3 = p^0$ ovviamente non da soluzioni.
$a^3+b^3=p$ Da cui siccome non è possibile che entrambi i fattori contegano $p$ uno dei due deve essere uguali ad $1$. Quindi abbiamo $(a^2-ab+b^2)=1$ da cui $a=1$ e $b=1$. Da cui $p=2$. Siccome ho diviso molte volte per $2$ ho che le soluzioni sono $a=2^x$, $b=2^x$, $p=2$, $n=2x+1$.
$a^3+b^3=p^2$ non da soluzioni perchè con lo stesso procedimento di prima si ottiene LHS multiplo di $p^3$.
Nel caso in cui $p=3$
Anzitutto $n>1$ altrimenti non ci sono soluzioni.
Quindi abbiamo $3^(2k)-3ab=3^h$ Se entrambe le potenze di 3 hanno esponente maggiore di 1, si ha che 3ab deve essere divisibile per 9, quindi uno tra a e b è divisibile per 3 e di conseguenza pure l'altro e si rifà la stessa cosa di prima.
Altrimenti abbiamo che una delle due è uguale a 3. Quindi $a=1, b=2$ o viceversa ed è soluzione.
Quindi siccome abbiamo diviso per $3$ diverse volte sono soluzioni anche $a=3^x, b=2*3^x, p=3, n=3x+2$
Scusami se ho scritto in modo pedestre ma proprio non avevo voglia xDDD
"xXStephXx":
Uno tra $a$ e $b$ deve essere divisibile per $p$
Questo perchè?
"xXStephXx":
Quindi divido tutto per $p^3$ e ripeto quest'operazione fino a quando avrò l'esponente di $p$ minore di $3$.
In realtà tu non hai il diritto di abbassare l'esponente di $p$ fino a farlo diventare $0,1,2$ ma solo il diritto di abbassare l'esponente di p nella fattorizzazione di $a$
La prima perchè affinchè $p^(2k)-3ab$ sia una potenza di $p$ è necessario che sia divisibile per $p$, quindi $3ab$ deve essere divisibile per $p$, quindi se siamo nel primo caso $ab$ deve essere divisibile per $p$, quindi uno tra $a$ e $b$ deve essere divisibile per $p$.
Quando divido per $p^3$ abbasso l'esponente ovunque. E finchè l'esponente di $p$ è maggiore o uguale a $3$ posso ripetere quel procedimento, visto che ti ritrovi nelle stesse condizioni che avevi alla partenza.
Quando divido per $p^3$ abbasso l'esponente ovunque. E finchè l'esponente di $p$ è maggiore o uguale a $3$ posso ripetere quel procedimento, visto che ti ritrovi nelle stesse condizioni che avevi alla partenza.
Scusa, hai ragione per l'ultima domanda, non avevo letto all'inizio con p diverso da 3. 
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