Quanti zero
Buongiorno
Quanti zero occorrono per scrivere tutti i numeri da 1 a 1000?
Si può provare a scriverli e contare gli zeri, ma se fosse fino a 100000?
Esiste una regola, una formula?
Quanti zero occorrono per scrivere tutti i numeri da 1 a 1000?
Si può provare a scriverli e contare gli zeri, ma se fosse fino a 100000?
Esiste una regola, una formula?
Risposte
Butto lì una formula, l'ho fatta velocemente, prova a interpretarla e correggerla se ti va, poi ti dico a cosa ho pensato:
trovare quanti 0 ci sono nei numeri di $n$ cifre o meno (da 1 in poi). Ovviamente consideriamo che i numeri comincino dalla prima cifra diversa da 0.
allora la formula è: $9* sum_(i=2)^n (i-1)*10^(i-2) $
del tipo: per i numeri da 1 a 99999, ovvero per $n=5$ si ha 38889.
che ne dici?
trovare quanti 0 ci sono nei numeri di $n$ cifre o meno (da 1 in poi). Ovviamente consideriamo che i numeri comincino dalla prima cifra diversa da 0.
allora la formula è: $9* sum_(i=2)^n (i-1)*10^(i-2) $
del tipo: per i numeri da 1 a 99999, ovvero per $n=5$ si ha 38889.
che ne dici?
OK perfetto.
Il mio programmino per calcolarli è di 8 righe. La tuo formula è molto più ridotta.
Se ti va, descrivimi il calcolo.
Il mio programmino per calcolarli è di 8 righe. La tuo formula è molto più ridotta.
Se ti va, descrivimi il calcolo.
Ho ricontrollato, la formula di prima è sbagliata: provo questa, che conta direttamente tutti gli 0:
da 1 a 999..999 ($n$ cifre) abbiamo un numero di $0$ dato da
$9*sum_(i=0)^(n-2) 10^(i)*9^(n-i)$
il ragionamento è:
Prendiamo ad esempio i numeri di $5$ cifre, quindi da 10.000 a 99.999
il generico numero è $abcde$. la prima cifra non può essere mai uno $0$ altrimenti non sarebbe a 5 cifre.
se $b=0$ allora abbiamo per $a$ 9 scelte, le cifre da uno a nove, per $c,d,e$ 10 scelte.
se $c=0$ allora abbiamo per $a$ 9 scelte, anche per $b$ 9 scelte (lo 0 l'abbiamo già contato prima), per gli altri 10 scelte.
se $d=0$ allora abbiamo per $a$ 9 scelte, anche per $b,c$ 9 scelte, per $d$ 10 scelte.
se $e=0$ allora abbiamo per $a$ 9 scelte, anche per $b,c,d$ 9 scelte.
L'errore di quella di prima è che contava alcune combinazioni più volte. i risultati correggendo la prima formula con questa nuova sono comunque leggermente diversi da quelli che mi aspetterei. quindi non so se è definitiva, ma al momento mi pare che non ci siano errori
da 1 a 999..999 ($n$ cifre) abbiamo un numero di $0$ dato da
$9*sum_(i=0)^(n-2) 10^(i)*9^(n-i)$
il ragionamento è:
Prendiamo ad esempio i numeri di $5$ cifre, quindi da 10.000 a 99.999
il generico numero è $abcde$. la prima cifra non può essere mai uno $0$ altrimenti non sarebbe a 5 cifre.
se $b=0$ allora abbiamo per $a$ 9 scelte, le cifre da uno a nove, per $c,d,e$ 10 scelte.
se $c=0$ allora abbiamo per $a$ 9 scelte, anche per $b$ 9 scelte (lo 0 l'abbiamo già contato prima), per gli altri 10 scelte.
se $d=0$ allora abbiamo per $a$ 9 scelte, anche per $b,c$ 9 scelte, per $d$ 10 scelte.
se $e=0$ allora abbiamo per $a$ 9 scelte, anche per $b,c,d$ 9 scelte.
L'errore di quella di prima è che contava alcune combinazioni più volte. i risultati correggendo la prima formula con questa nuova sono comunque leggermente diversi da quelli che mi aspetterei. quindi non so se è definitiva, ma al momento mi pare che non ci siano errori
"blackbishop13":
il ragionamento è:
Prendiamo ad esempio i numeri di $5$ cifre, quindi da 10.000 a 99.999
il generico numero è $abcde$. la prima cifra non può essere mai uno $0$ altrimenti non sarebbe a 5 cifre.
se $b=0$ allora abbiamo per $a$ 9 scelte, le cifre da uno a nove, per $c,d,e$ 10 scelte.
se $c=0$ allora abbiamo per $a$ 9 scelte, anche per $b$ 9 scelte (lo 0 l'abbiamo già contato prima), per gli altri 10 scelte.
se $d=0$ allora abbiamo per $a$ 9 scelte, anche per $b,c$ 9 scelte, per $d$ 10 scelte.
se $e=0$ allora abbiamo per $a$ 9 scelte, anche per $b,c,d$ 9 scelte.
Dal punto di vista logico, trovo qualcosa di errato in questo ragionamento.
Quando ad esempio valuti il $c=0$ diminuisci la b a 9 scelte (perchè lo hai gia' conteggiato prima). Da un lato è vero, ma allo stesso tempo devi conteggiarlo di nuovo perchè quel numero contiene 2 zero (il c appunto ad anche di nuovo la b)
Pertanto il ragionamento che hai fatto sul $b=0$ potresti riportarlo pari pari anche sulla c, d e.
Direi quindi, che gli zero sono:
5 cifre: $4*9*10*10*10$
Piu' in generale per n cifre:
n cifre: $9*(n - 1) * 10 ^ (n - 2)$
Nel caso di 5 cifre, e si intende calcolare TUTTI gli zero ( dal numero 1 al 99999), bisogna semplicemente sommare:
2 Cifre = 9
3 Cifre = 180
4 Cifre = 2.700
5 Cifre = 36.000
2 Cifre = 9
3 Cifre = 180
4 Cifre = 2.700
5 Cifre = 36.000
Ok Umby, hai ragione. La formula che hai scritto tu, e poi i risultati che hai riportato sono ben condensati nella mia prima formula
$9*sum_(i=2)^n(i-1)*10^(i-2)$ che è la formula corretta e definitiva, anche al_berto mi sembrava daccordo.
l'altra formula invece dà un'altra cosa, ovvero quanti sono i numeri in cui compare almeno uno zero. può essere utile anche lei!
$9*sum_(i=2)^n(i-1)*10^(i-2)$ che è la formula corretta e definitiva, anche al_berto mi sembrava daccordo.
l'altra formula invece dà un'altra cosa, ovvero quanti sono i numeri in cui compare almeno uno zero. può essere utile anche lei!
Scusate la mia ignoranza, ma la formula vale anche per le altre cifre? Cioè quanti 1,2,3 ecc
... con la differenza che cifre diverse da zero possono essere anche al primo posto.
No non si usa ovviamente la stessa formula, per il motivo detto da adaBTTLS
anzi, grazie a questa osservazione mi viene in mente un altro modo per trovare il numero di 0.
per scrivere tutti i numeri di al più $n$ cifre quante cifre ci serviranno? è semplice
$9*sum_(i=1)^ni*10^(i-1)$ e chiamiamo questo numero $S$
quante volte compaiono le cifre diverse da 0? ogni cifra compare $n*10^(n-1)$ volte, è facile da osservare.
chiamiamo questo numero $T$.
quindi evidentemente il numero di 0 sarà: $S-9T$.
formula meno elegante (l'altra è più bella e veloce), ma più semplice concettualmente.
anzi, grazie a questa osservazione mi viene in mente un altro modo per trovare il numero di 0.
per scrivere tutti i numeri di al più $n$ cifre quante cifre ci serviranno? è semplice
$9*sum_(i=1)^ni*10^(i-1)$ e chiamiamo questo numero $S$
quante volte compaiono le cifre diverse da 0? ogni cifra compare $n*10^(n-1)$ volte, è facile da osservare.
chiamiamo questo numero $T$.
quindi evidentemente il numero di 0 sarà: $S-9T$.
formula meno elegante (l'altra è più bella e veloce), ma più semplice concettualmente.
Quindi per scrivere tutti i numeri da 1 a $99999$ ogni cifra $<> 0 $ compare $50000 $volte. Esatto?
"al_berto":
Quindi nel numero $99999$ ogni cifra $<> 0 $ compare $50000 $volte. Esatto?
detto così no..
Penso che tu intenda:
per scrivere i numeri da $1$ a $99999$ si deve usare 50000 volte ciascuna cifra diversa da 0?
allora la risposta è sì.
Ho corretto. Grazie 
"blackbishop13":
No non si usa ovviamente la stessa formula, per il motivo detto da adaBTTLS
anzi, grazie a questa osservazione mi viene in mente un altro modo per trovare il numero di 0.
per scrivere tutti i numeri di al più $n$ cifre quante cifre ci serviranno? è semplice
$9*sum_(i=1)^ni*10^(i-1)$ e chiamiamo questo numero $S$
quante volte compaiono le cifre diverse da 0? ogni cifra compare $n*10^(n-1)$ volte, è facile da osservare.
chiamiamo questo numero $T$.
quindi evidentemente il numero di 0 sarà: $S-9T$.
formula meno elegante (l'altra è più bella e veloce), ma più semplice concettualmente.
il risultato di questa operazione ti da una formula ancora piu semplice:
Il sottraendo è 11.111 ( ovvero tanti 1 per quante sono le cifre)
50.000 - 11.111 = 38.889
Uff ho fatto un sacco di casino:
in realtà anche nel secondo metodo giusto che ho detto, la formula finale, svolgnedo quel $S-9T$ è quella originale, solo mettendo gli indici in modo migliore:
$9*sum_(i=1)^(n-1)i*10^(i-1)$ che dà il numero di 0.
poi quella proposta da Umby è leggermente diversa, che scritta in formule è così:
$n*10^(n-1)-sum_(i=0)^(n-1)10^i$
per un computer è meglio l'altra, più corta, da fare a mano questa è più comoda, e anche bella.
in realtà anche nel secondo metodo giusto che ho detto, la formula finale, svolgnedo quel $S-9T$ è quella originale, solo mettendo gli indici in modo migliore:
$9*sum_(i=1)^(n-1)i*10^(i-1)$ che dà il numero di 0.
poi quella proposta da Umby è leggermente diversa, che scritta in formule è così:
$n*10^(n-1)-sum_(i=0)^(n-1)10^i$
per un computer è meglio l'altra, più corta, da fare a mano questa è più comoda, e anche bella.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo