Quanti rettangoli ci sono in una scacchiera ?

[axpgn]

Ovviamente i quadrati sono dei rettangoli ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

In una scacchiera n x n, i rettangoli, con i vertici nel centro di una casella e con i lati paralleli ai lati della medesima, sono \( {\frac{(n^2-n)^2}{4}} \) .
Cambiando le due condizioni, possono essere moooolti di più.
Ciao

[nino_12]

$(n^2*(n+1)^2)/4$

Per n=8 ------> 1296 rettangoli (comprendendo anche i 204 quadrati)

Ciao

[axpgn]

Premetto che, almeno inizialmente, mi riferivo alla "classica" scacchiera $8xx8$ e per quanto riguarda i rettangoli solamente a quelli che si possano formare con le rette che formano le caselle, bordo della scacchiera compreso (che non sono le condizioni di orsoulx mi pare di aver capito, infatti in tal caso ne mancherebbe qualcuno), avrei rilanciato con il chiedere una formula per la generica scacchiera di lato $n$, ma voi siete andati subito al sodo ...

Perciò vi chiedo le formule generali per calcolare direttamente il numero di quadrati e di rettangoli non quadrati ...

Cordialmente, Alex

P.S.: ti chiedo, per favore, di mettere le tue soluzioni sotto spoiler cosicché gli (eventuali) visitatori interessati al problema non vengano influenzati. Grazie

[nino_12]

N_quadrati = n(n+1)(2n+1)/6

N_quadrati + rettangoli = C(n+1,2)*C(n+1,2)

N_rettangoli = n(n+1)(n-1)(3n+2)/12

Ciao, Nino

[orsoulx]

"axpgn":P.S.: ti chiedo, per favore, di mettere le tue soluzioni sotto spoiler cosicché gli (eventuali) visitatori interessati al problema non vengano influenzati. Grazie

D'abitudine metto le soluzioni sotto spoiler. Il mio primo intervento non lo era, perché intendevo segnalare una certa ambiguità nella formulazione del problema. Una scacchiera serve per giocare a scacchi ed individua le posizioni in cui questi possono essere appoggiati. Diventa allora questione di punti di vista focalizzare l'attenzione sulle caselle o sui loro bordi che costituiscono un reticolo. Con le condizioni che ho, volutamente, esplicitato la 'soluzione' che ho postato è corretta, come sono esatte le formule di nino_ che si riferiscono al reticolo.
Leggermente più complicato sarebbe andare a contare, assumendo come vertici i centri delle caselle, tutti i rettangoli/quadrati che si possono formare, anche con lati non paralleli ai bordi della scacchiera.
Ciao

[axpgn]

Sì, certo, sono d'accordo; difatti ho precisato poi le condizioni che essendo diverse dalle tue portano ad una soluzione diversa.
Tieni conto però che qui siamo nella stanza dei giochi (matematici ma sempre giochi ... ), quindi, in generale, il testo fa parte anch'esso del gioco.
Al riguardo (se hai tempo ... ) ci sono diversi post nel thread relativo alla QLM 2014.


@nino


Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":Al riguardo (se hai tempo ... ) ci sono diversi post nel thread relativo alla QLM 2014.

Questa frase è un esempio di testo che fa parte del gioco. Riesco solo a capire che dovrei aver tempo per andare a caccia di qualcosa che non so in un luogo che non conosco. Ci rinuncio, come ho già fatto nella discussione sulle classi di resto modulo 9.
Ciao

[axpgn]

Hai ragione, sono stato pigro.
Eccoti il link viewtopic.php?f=12&t=129646, però trovare i post relativi a quanto ho detto sarà dura ... se ne trovo qualcuno, li posto ...

Cordialmente, Alex

P.S.: Il riferimento alla gara lo trovi anche in homepage di Matematicamente.

EDIT: ho trovato alcuni post dove si discute sull'ambiguità di alcuni testi della gara dell'anno scorso: qui per esempio le risposte di Admin viewtopic.php?f=12&t=129646&start=100; il tema inizia un paio di pagine prima (e durante la gara ci sono state un altro paio di polemiche ...).

[orsoulx]

Grazie, ma non stare a cercare: non mi interessano le competizioni e su questo problema credo che concordiamo.
Ciao

[kobeilprofeta]

(non ho letto le risposte precedenti)

Se i rettangoli so considerao composti dai quadrati della scacchiera...

Ci sono $(n+1-j)*(n+1-k)$ rettangoli di dimensione jxk in una scacchiera da nxn.

In totale dovrebbero esserci $\sum_{j=1}^n(\sum_{k=1}^n (n+1-j)*(n+1-k))=frac{n^2*(n+1)^2}{4}$ rettangoli.

[axpgn]

[kobeilprofeta]

Ho "imbrogliato"...

Solo nella scrittura del risultato, dato che non sapevo se sapevo risolvere una serie doppia.

[axpgn]

Provaci, non mi pare difficile ... il più l'hai fatto ...
Risolvi quella interna prima e poi "sommi" il risultato ...

$\sum_{j=1}^n(\sum_{k=1}^n (n+1-j)*(n+1-k))$

Inizio con la sommatoria interna ...

$\sum_{k=1}^n (n+1-j)*(n+1-k)=\sum_{k=1}^n (n^2+2n-kn-jn-k-j+jk+1)$

$\sum_{k=1}^n n^2+\sum_{k=1}^n 2n - \sum_{k=1}^n kn- \sum_{k=1}^n jn - \sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n j +\sum_{k=1}^n jk + \sum_{k=1}^n 1$

$n^3+2n^2-(n^2(n+1))/2-jn^2-(n(n+1))/2-jn+(jn(n+1))/2+n$

Adesso la sommatoria esterna ...

$\sum_{j=1}^n (n^3+2n^2-(n^2(n+1))/2-jn^2-(n(n+1))/2-jn+(jn(n+1))/2+n)$

$n^4+2n^3-(n^3(n+1))/2-(n^2(n+1))/2+n^2-n^2\sum_{j=1}^n j-n\sum_{j=1}^n j+(n(n+1))/2\sum_{j=1}^n j$

$n^4+2n^3-(n^3(n+1))/2-(n^2(n+1))/2+n^2+(-n^2-n+(n(n+1))/2)*\sum_{j=1}^n j$

$n^4+2n^3-(n^3(n+1))/2-(n^2(n+1))/2+n^2+(-n^2-n+(n(n+1))/2)(n(n+1))/2$

$n^4+2n^3-n^3(n+1)-n^2(n+1)+n^2+[(n(n+1))/2]^2$

$n^4+2n^3-n^4-n^3-n^3-n^2+n^2+[(n(n+1))/2]^2$

$[(n(n+1))/2]^2$

Cordialmente, Alex

[kobeilprofeta]

ok. l'ho provata ora. A posto, grazie.