Quante radici intere ?

[ziomauri1]

Il polinomio P(x) ,a coefficienti interi, è tale che P(3)=12 e P(7)=4.Determinare il massimo numero di soluzioni intere
che può avere l'equazione P(x)+2x=23

[luigi_rafaiani]

P(x) = 18 - 2x quindi P(x)+2x = 18. Massimo numero di soluzioni intere e non = 0.

[ziomauri1]

Zero non è il numero massimo di soluzioni ma caso mai il numero minimo.Tutto dipende da come si sceglie il polinomio.Per esempio se prendo $P(x)=x^2-12x+39$ quell'equazione diventa $x^2-10x+16=0$ che ha due radici intere $x_1=2,x_2=8$

In qualunque modo si sceglie P(x) il numero massimo di radici intere è 2

[luigi_rafaiani]

"ziomauri":Zero non è il numero massimo di soluzioni ma caso mai il numero minimo.Tutto dipende da come si sceglie il polinomio.Per esempio se prendo $P(x)=x^2-12x+39$ quell'equazione diventa $x^2-10x+16=0$ che ha due radici intere $x_1=2,x_2=8$

giusto

[bboypa]

"ziomauri":Il polinomio P(x) ,a coefficienti interi, è tale che P(3)=12 e P(7)=4.Determinare il massimo numero di soluzioni intere
che può avere l'equazione P(x)+2x=23

Sia $Q(x):=P(x)+2x-23\in \mathbb{Z}[x]$ allora $Q(3)=Q(7)=-5$. Assegnati due interi a>b vale sempre $a-b | Q(a)-Q(b)$. In particolare se b è una radice di Q allora $\text{gcd}(3-b,7-b)| 5$. E' immediato dedure che gli unici valori che può assumere b sono 2 e 8.
Che guarda il caso è proprio l'esempio precedente..