Quante possibili soluzioni (giuste) ci sono?

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Due persone, che con grande originalità chiameremo Alice e Bob, si trovano rispettivamente nei punti \( (0,0) \) e \( (2,1) \) di una griglia quadrata nel piano. Nello stesso istante ciascuno, con la stessa velocità, si dirige verso la posizione iniziale dell'altro (alla fine Alice sarà in \( (2,1) \) e Bob in \( (0,0) \) ). Alice può muoversi solo verso l'altro o verso destra, mentre Bob solo verso il basso o verso sinistra. Entrambi devono muoversi sulle linee della griglia, i.e. almeno una delle due coordinate dev'essere un intero. Qual è la probabilità che si incontreranno?

[vict85]

Non chiamerei quella griglia quadrata. Il numero di percorsi è piuttosto piccolo, quindi si può facilmente enumerare.

[strike]Non si incontreranno mai.[/strike]

Alice:
(0,0) -> (1,0) -> (2,0) -> (2,1)
(0,0) -> (1,0) -> (1,1) -> (2,1)
(0,0) -> (0,1) -> (1,1) -> (2,1)

Bob:
(2,1) -> (1,1) -> (0,1) -> (0,0)
(2,1) -> (1,1) -> (1,0) -> (0,0)
(2,1) -> (2,0) -> (1,0) -> (0,0)

edit: Non avevo considerato i possibili incontri in punti non interi... Il risultato corretto è 1/3.

[axpgn]

Tre percorsi possibili per ciascuno.
Nove casi complessivamente.
Solo in un terzo di questi si incontrano.
Quindi la probabilità è un terzo.

Cordialmente, Alex.

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"vict85":Non chiamerei quella griglia quadrata.

per griglia quadrata chiaramente mi riferivo a quella formata dai vertici \( (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) \) che poi si estende a tutto il piano. Metti in spoiler la risposta sotto pf.


Comunque avete ragione entrambi ma è solo una possibile soluzione, non l'unica

[vict85]

Suppongo che tu voglia intentere che la soluzione dipende da come calcoli la probabilità dei vari percorsi. Per esempio, se si procede a caso, ovvero se ogni decisione ha 1/2 di probabilità, la probabilità di incontrarsi sarebbe 5/16 (se non ho fatto male i calcoli).

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Yess! Ma spoiler pf

[Quinzio]

Come diceva vic85, dipende da come si definisce la probabilita' di fare un certo percorso.
Alice , quando e' ad un bivio, ad es. prende una delle due strade possibili con probabilita' del 50%.
Chiamiamo i lati dei quadrati da sinistra a destra e dall'alto al basso con le lettere da A a G.
A sara' da (0,1) a (1,1), B quello a destra, ecc...
A, B, C ed F hanno probabilta' 1/2 di essere percorsi, gli altri 1/4.
Siccome Alice e Bob si muovono con la cosiddetta metrica "del taxi", la posizione di Alice dopo una distanza $s$ sara' sulla retta $ x+y = s$.
Per Bob sara' su $x+y = 3-s$.
L"incontro deve avvenire quindi sulla retta $x+y = 3/2$.
Questa retta attraversa i lati A, D, e G.
Gli incontri avverranno allora sui lati AG, DD, GA, rispettivamente per Alice (ad es. A ) e Bob (ad es. G).
Questo siccome Bob vede la griglia ruotata di 180^.
In termini di probabilita', eseguendo il calcolo AG + DD + GA risulta 1/8 + 1/8 + 1/16 = 5/16.
Chiaramente l'esercizio non e' difficile e si puo' arrivare alla soluzione in modo empirico o esaustivo.
Ho cercato di dare al tutto un'impostazione un minimo formale.