Quadrato perfetto

[TomSawyer1]

Dimostrare che, per ogni $k>=3$, non esistono quadrati perfetti della forma $2^kn+2005$, con $n$ intero.

[carlo232]

"Crook":Dimostrare che, per ogni $k>=3$, non esistono quadrati perfetti della forma $2^kn+2005$, con $n$ intero.

Supponiamo di aver dimostrato la validità della tesi per $k$, se per alcuni interi $a,n$ fosse $a^2=2^(k+1)n+2005$ allora sarebbe $a^2=2^k(2n)+2005$ in contrasto con la nostra ipotesi, è sufficiente quindi dimostrare la tesi per $k=3$. Abbiamo che $5$ non è un residuo quadratico modulo $8$ per cui non potrà essere $2^3|a^2-2005$ e la tesi segue.

[TomSawyer1]

Tu dici: supponiamo che l'ipotesi sia verificata per $k+1$, quindi $a^2=2^(k+1)n+2005$; poi $a^2=2^k(2n)+2005$ sarebbe in contrasto con l'ipotesi. Non ho ben capito perche' questo giustificherebbe la dimostrazione della tesi solo per $k=3$.

[carlo232]

Fissiamo $k$ e supponiamo di essere riusciti a dimostrare che (1) per ogni $n in NN$ il numero $(2^k)n+2005$ non è un quadrato perfetto. Ora se esistesse $m$ tale che $(2^(k+1))m+2005$ sia un quadrato perfetto allora potremmo dire che ponendo $n=2m$ il numero $(2^k)n+2005$ è un quadrato perfetto, ma la (1) diceva che per nessun $n$ ciò era vero per cui deve anche essere che per nessun $m$ l'espressione $(2^(k+1))m+2005$ sia un quadrato perfetto. Dimostrata la tesi per $k$ allora segue per $k+1$.

[TomSawyer1]

Ok, ho capito. La mia dimostrazione e' una serie di manipolazioni algebriche, supponendo per assurdo l'antitesi; quindi neanche un po' elegante..

[carlo232]

"Crook":Ok, ho capito. La mia dimostrazione e' una serie di manipolazioni algebriche, supponendo per assurdo l'antitesi; quindi neanche un po' elegante..

Se non ti costa troppo fa che postarla, in fin dei conti conoscere più approcci allo stesso problema è utile, magari a risolvere problemi simili che non cedono con l'approccio conosciuto

[TomSawyer1]

Allora, supponiamo per assurdo che $q^2=2^kn+2005 => q^2-401=2^kn+4*401 => (q^2-401)/4=2^(k-2)n+401$.
Quindi $(q^2-401)/4$ deve essere dispari, in quanto la parte destra dell'ultima equazione e' sempre dispari.
Dunque $q=2m-1$. Sostituendo, $((2m-1)^2-401)/4=(4m^2-4m-400)/4=m^2-m-400$, che e' sempre pari. Dunque l'ipotesi di base e' falsa.

[Sk_Anonymous]

"Crook":Dimostrare che, per ogni $k>=3$, non esistono quadrati perfetti della forma $2^kn+2005$, con $n$ intero.

Se $a^2 = 2^k \cdot n + 2005$, per qualche $a \in NN$, allora necessariamente $a = 1 mod 2$, e perciò $1 = 2005 mod 8$, assurdo!

[Aethelmyth]

"DavidHilbert":[quote="Crook"]Dimostrare che, per ogni $k>=3$, non esistono quadrati perfetti della forma $2^kn+2005$, con $n$ intero.

Se $a^2 = 2^k \cdot n + 2005$, per qualche $a \in NN$, allora necessariamente $a = 1 mod 2$, e perciò $1 = 2005 mod 8$, assurdo![/quote]
Intendi $a -= 1 (mod 2)$ e $1 -= 2005 (mod 8)$ (quindi $1 -= 5 (mod 8)$)? In ogni caso non ho ben capito il xkè della seconda

[Sk_Anonymous]

@Aethelmyth: sì, intendo quello. Abbiate comprensione, ma il MathML non intendo impararlo!