Quadrati perfetti

[axpgn]

La sequenza $49, 4489, 444889, ...$ prosegue all'infinito.

Son tutti quadrati perfetti?


Cordialmente, Alex

[moccidentale]

.

[axpgn]

Bella idea, però ...

... assumi senza dimostrarlo che la moltiplicazione per nove dei termini della sequenza generi sempre numeri di quella forma.
Dovresti provarlo altrimenti è solo una congettura

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Penso che si possa provare così ...

I numeri della sequenza originale hanno un numero pari di cifre, poniamo $2n$ ed hanno la forma seguente

$4*sum_(k=n)^(2n-1) 10^k+8*sum_(k=1)^(n-1) 10^k+9$

che moltiplicata per nove diventa

$36*sum_(k=n)^(2n-1) 10^k+72*sum_(k=1)^(n-1) 10^k+81$


Ora la rappresentazione decimale di questi numeri è la seguente:

La cifra delle unità è sempre $1$
Quella delle decine è $8+2=0$ col riporto di $1$
Le cifre seguenti sono $7+2+1=0$ sempre col riporto di $1$ fino al $7$ dell'ultimo $72$
Questo $7$ si somma al $6$ e al riporto precedente e si ha $7+6+1=4$ col riporto di $1$
Le cifre seguenti sono $3+6+1=0$ col riporto di $1$ fino al $3$ dell'ultimo $36$, dove si ha $3+1=4$

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Una dimostrazione piu' formale l'avete gia' data.
Volevo proporre una specie di dimostrazione induttiva piu' grafica che matematica.
E' un po' "forzata", ma direi che ha la sua eleganza.

Da un certo punto di vista, che la sequenza sia fatta da quadrati potrebbe essere assunto come dato di fatto,
senza nulla da dimostrare.
Le radici sono tutte $666..........7$ e i quadrati sono tutti $444444....888....9$.
Quindi, piu' che dimostrare che la sequenza e' fatta da quadrati, si dimostra che i quadrati hanno tutti la stessa "forma".

Prima di tutto descriviamo questa forma, e per far questo si introduce una notazione particolare per numeri che hanno la stessa cifra ripetuta molte volte:
$C_n$ e' la cifra $C$ ripetuta $n$ volte.
Ad es. $100022$ si puo scrivere come $1 0_3 2_2$ o anche come $1 0_2 0 2_2$. Il pedice 1 si puo' omettere.

L'obbiettivo e' quindi dimostrare che $(6_n 7)^2$
ha sempre la forma $4_n 4 8_n 9$

Il primo passo induttivo ($n=1$) e'
$(67)^2 = 4489$
che scriviamo come
$(6_1 7)^2 = 4_1 4 8_1 9$

Volendo si puo partire anche da $n=0$
$(7)^2 = 49$
che scriviamo come
$(6_0 7)^2 = 4_0 4 8_0 9$

Ora dimostriamo il generico passo induttivo, ovvero che se
$(6_n 7)^2 = 4_n 4 8_n 9$
allora
$(6_{n+1} 7)^2 = 4_{n+1} 4 8_{n+1} 9$.


$(6_{n+1} 7)^2= $
$(60_{n+1} + 6_n 7)^2 =$
$(60_{n+1})^2 + 2 \times 60_{n+1} \times 6_n 7 +(6_n 7)^2 =$

$360_n00_n0 + 80_n40_n0 + 4_n48_n9$
Nota:[nota](La nota esce dallo spoiler )
Sarebbe da far vede come
$2 \times 60_{n+1} \times 6_n 7 = 80_n40_n0$

... non e' impossibile, e' solo tedioso e non immediato. Lo ometto.[/nota]

Per visualizzare meglio la somma finale, la disponiamo in forma tabellare.

${: (3, 6, 0_n, 0, 0_n, 0, +) , (,8,0_n,4,0_n,0, +) , (, ,4_n,4,8_n,9, +),(-,-,-,-,-,-, =), ( 4, 4 , 4_n , 8 , 8_n , 9 , ) :}$

Riscriviamo il risultato come...
$4 4 4_n 8 8_n 9 = 4_{n+1}48_{n+1}9$

e questo dimostra il generico passo induttivo.
$(6_{n+1} 7)^2 = 4_{n+1}48_{n+1}9$

[axpgn]

Bella, mi piace
Volendo essere pignoli andrebbe dimostrata anche la parte in nota ma fa niente
Mi piace particolarmente il modo con cui hai rappresentato i numeri, molto ben fatto a mio parere

Cordialmente, Alex