Quadrati perfetti

[Maryana67]

Salve a tutti, un giochetto facile facile, giusto per richiamare qualcuno a giocare (siamo messi maluccio)...

Un quadrato perfetto ha quattro cifre. Quando ciascuna cifra è incrementata di 1 si forma un altro quadrato perfetto.
Quali sono i due quadrati perfetti in questione?

Tempo di risoluzioni max. 1 minuto ... scherzo! avete tutto il tempo
... i più "superbravi" non si offendano però...
Ciao Claudio
P.S. intanto provo se le notifiche funzionano

[axpgn]

$2025$ e $3136$

[ollyolly1]

Simpatico

Sapendo che il risultato è tra le soluzioni naturali di $ n^2+1111=m^2 $ si ottiene $45^2$ e $56^2$

[veciorik]

$(m+n)(m-n) = 1111 \ = \ 101*11 \qquad \Rightarrow \qquad m=(101+11)/2=56 \quad , \quad n=(101-11)/2=45$

[kobeilprofeta]

Ho $b^2=a^2+1111 => (a+b)*(b-a)=101*11$
${(a+b=101),(b-a=11):} => {(a=45),(b=56):}$

I due quadrati sono $45^2=2025$ e $56^2=3136$

[Albesa81]

Piccola variante sul tema: la differenza tra un quadrato perfetto e il precedente è \(\displaystyle 1111 \). Quanto valgono i due quadrati perfetti?

[ollyolly1]

"Albesa81":Piccola variante sul tema: la differenza tra un quadrato perfetto e il precedente è \(\displaystyle 1111 \). Quanto valgono i due quadrati perfetti?

Il problema in questo caso è $ n^2+1111= (n+1)^2 $ da cui l'immediata soluzione $ 555^2 e 556^2 $

[Albesa81]

Ok, adesso però la mia domanda è: oltre a \(\displaystyle (2025, 3136) \) e \(\displaystyle (308025, 309136) \) esistono altre coppie di quadrati perfetti la cui differenza è pari a \(\displaystyle 1111 \)? Esiste un modo per dirlo senza usare la "forza bruta"?

[axpgn]

Beh, più grandi degli ultimi due non ce ne sono per forza ... ... e anche i primi due sono stati trovati ragionando non con la forza bruta (vedi veciorik per esempio ...)

[veciorik]

Cosa significa "forza bruta" ?
I fattori di $ \qquad 1111 \qquad $ sono $ \quad 1 \ , \ 11 \ , \ 101 \ , \ 1111$
Ci sono due soli modi, quelli già visti, per scomporre $ \qquad a^2-b^2=(a+b)(a-b)=1111 \qquad $ come prodotto di due di questi fattori:
$$ \ a+b=101 \ , \ a-b=11 \ $$ $$ \ a+b=1111 \ , \ a-b=1 \ $$

[axpgn]

Ho fatto riferimento al tuo post come esempio di ragionamento non di forza bruta ...

[veciorik]

Non dicevo a te, Alex.
Non mi sento criticato, da nessuno.
Volevo solo capire cosa si intende con "forza bruta": forse procedere a tentoni, senza intelligenza [nota]IMHO non è possibile ottenere qualcosa di buono senza un po' di intelligenza[/nota] ?
Qualcuno può mostrare un procedimento brutale per arrivare a una delle due soluzioni ?

[Albesa81]

"veciorik":Cosa significa "forza bruta" ?

forza bruta = esaurire tutte le possibili coppie di quadrati perfetti fino a \( \displaystyle (308025, 309136) \), pensavo fosse chiaro

"veciorik":
I fattori di $ \qquad 1111 \qquad $ sono $ \quad 1 \ , \ 11 \ , \ 101 \ , \ 1111 $
Ci sono due soli modi, quelli già visti, per scomporre $ \qquad a^2-b^2=(a+b)(a-b)=1111 \qquad $ come prodotto di due di questi fattori:
\[ \ a+b=101 \ , \ a-b=11 \ \] \[ \ a+b=1111 \ , \ a-b=1 \ \]

E' esattamente la risposta che mi aspettavo

[veciorik]

"Albesa81":
forza bruta = esaurire tutte le possibili coppie di quadrati perfetti fino a \( \displaystyle (308025, 309136) \), pensavo fosse chiaro

Chi mai farebbe questo ? Alzi la mano !
Servirebbe almeno una macchina programmabile.
Mi auguro che nessuno scriverebbe un programma per risolvere, in questo modo, un gioco del genere.
Confesso di aver scritto un programma, due anni fa, per risolvere un problema in questo forum, ma mi sembrava fosse un po' più difficile questo.

[Albesa81]

"veciorik":Chi mai farebbe questo ? Alzi la mano !

Ohibò, ho come l'impressione di aver involontariamente alzato un polverone...
Comunque, se non si ha niente di meglio, è l'unica possibilità di trovare tutte le soluzioni a problemi troppo complessi per poter essere trattati analiticamente (ad esempio in campi come la crittanalisi).
Detto questo... il gioco è fatto per svagarsi e mi sembra che questo abbia assolto al proprio compito