Putnam 2009

[robbstark1]

Ciao a tutti.
Ho trovato degli interessanti esercizi da una gara americana (link http://www.math.ubc.ca/~gerg/putnam/putnam2009.pdf)
Questo è il primo esercizio:
Sia data una funzione sul piano, tale che per ogni quadrato $ABCD$ si ha che $f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0$. Si può concludere che per ogni punto $P$ del piano $f(P)=0$?

[salvozungri]

Cacchio pensavo fosse più facile, m'ha fregato di brutto, ad ogni modo, nello spoiler c'è una possibile soluzione

Certo, preso un punto nel piano, chiamo $P$, posso costruire un quadrato di vertici $A,B,C,D$, di modo che $P$ sia il punto centrale, di conseguenza, chiamando $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ i punti medi dei segmenti $AB, BC, CD, DA$, verranno a crearsi 4 sottoquadrati i cui vertici sono indicati in figura:
[asvg]noaxes();
var P = [0,0];
text(P, "P", aboveright);
var A= [-2,2];
text(A, "A", aboveleft);
var B=[2,2];
text(B, "B", aboveright);
var C=[2,-2];
text(C, "C", belowright);
var D=[-2,-2];
text(D, "D", belowleft);
var A1=[0, 2];
text(A1, "A1", above);
var B1=[2,0];
text(B1, "B1", right);
var C1= [0,-2];
text(C1, "C1", below);
var D1= [-2, 0];
text(D1, "D1", left);
rect([-2,-2],[2,2]);
line([0, -2], [0, 2]);
line([-2, 0], [2, 0]);[/asvg]

Da ciò segue che:

$f(A)+f(A_1)+f(P)+ f(D_1)=0$
$f(A_1)+f(B)+ f(B_1)+f(P)=0$
$f(P)+f(B_1)+f(C)+f(C_1)=0$
$f(D_1)+f(P)+ f(C_1)+ f(D)=0$
Sommando queste quattro equazioni segue che:
$4 f(P) + 2(f(A_1)+ f(B_1)+f(C_1)+ f(D_1))+ f(A)+f(B)+ f(C)+ f(D)=0 $ (*)

ma:

$f(A)+ f(B)+f(C)+ f(D)=0$
$f(A_1)+f(B_1)+f(C_1)+f(D_1)=0$ questo perchè $A_1, B_1, C_1, D_1$ sono i vertici di un quadrato (la dim lasciata per esercizio )

pertanto (*) diventa:

$4 f(P)=0\implies f(P)=0$, dall'arbitrarietà di P ho la tesi.
[I'm dead]

[An0nym0us1]

[scusate, letto male il testo]

[salvozungri]

Non ho capito

[An0nym0us1]

Nulla. Mi son confuso.

[robbstark1]

@ Mathematico: Complimenti, soluzione corretta.

Passiamo al secondo esercizio, che non è un vero e proprio gioco, ma è più semplice di quanto possa sembrare a prima vista.
Trovare le soluzioni del seguente sistema di equazioni differenziali:
${(f'=2f^2 gh +1/(gh)),(g'=fg^2 h +4/(fh)),(h'=3fgh^2 +1/(fg)),(f(0)=g(0)=h(0)=1):}$

[Rigel1]

Io scriverei l'equazione soddisfatta dal prodotto $\phi = fgh$, che è una cosa del tipo
$\phi'=6(\phi^2+1)$, $\phi(0) = 1$, da cui $\phi(t) = \tan(6t+\pi/4)$.
A questo punto $f$, $g$ e $h$ soddisfano equazioni lineari del primo ordine:
$f' = (2\phi+1/\phi) f$, $g'= (\phi+4/\phi) g$, $h'=(3\phi+1/\phi) h$ (con relative condizioni iniziali).