Può essere quadrato?

[xXStephXx]

\(\displaystyle a^3+3a^2+a \) può essere un quadrato?

Vediamo se questo problema viene "bevuto" come quello di ieri! E chiaramente chi risponde solo "si" o "no" senza motivare.............

.......vince un pandoro!

[FreddyKruger]

Dato che $a^3+3a^2+a$ è sicuramente divisibile per $a$ poniamo $a^3+3a^2+a=a^{2n}k^2$.
Semplifichiamo di un fattore $a$ e avremo $a^2+3a+1=a^{2n-1}k^2$, che è assurda $moda$,a meno che $a$ non sia uguale ad 1 ma se così fosse $a^3+3a^2+a$ non sarebbe un quadrato perfetto.


.....però voglio comunque il pandoro

[albertobosia]

\(a=0\) non va bene?

[FreddyKruger]

Beh in realtà sarebbe molto banale, penso che l'esercizio chieda di trovare gli $a$ interi positivi...altrimenti 0 è soluzione

[pasplu]

Ho provato a fare questa considerazione:

metto in evidenza la $a$ perché fattore comune, quindi:

$a*(a^2+3*a+1)$.
Poiché per avere il quadrato è necessario che il polinomio tra parentesi deve essere eguale ad a, avrò:

$(a^2+3*a+1)=a$ cioè $(a+1)^2=0$ per cui risulta che solo per $a=-1$ l'espressione di partenza è un quadrato.

Ciao

[albertobosia]

"pasplu":Ho provato a fare questa considerazione:

metto in evidenza la $a$ perché fattore comune, quindi:

$a*(a^2+3*a+1)$.
Poiché per avere il quadrato è necessario che il polinomio tra parentesi deve essere eguale ad a, avrò:

$(a^2+3*a+1)=a$ cioè $(a+1)^2=0$ per cui risulta che solo per $a=-1$ l'espressione di partenza è un quadrato.

Ciao

faccio un'osservazione scema, ma mi sembra di non aver capito
se \(t^2=a^3+3a^2+a\), da cosa ricavi che \(a=a^2+3a+1\)?
riesci solo a dire che \(a|t^2\), ma questo non implica \(a|t\).

ho capito male il tuo discorso?

[gio73]

"pasplu": per cui risulta che solo per $a=-1$ l'espressione di partenza è un quadrato.

Ma sostituendo -1 ad a non viene 2? (che non è un quadrato perfetto) o sbaglio?

[FreddyKruger]

Veramente sostituendo -1 ad $a$ verrebbe 1...
Comunque per quanto riguarda l'affermazione di pasplu, ha ragione albertobosia, infatti non è necessario che i due fattori siano uguali, per esempi potrebbe essere che $a^2+3a+1=a^3$, in questo modo il prodotto sarebbe uguale ad $a^4$ , che è comunque un quadrato perfetto

[pasplu]

Scusate, ma forse non ho compreso il problema!. Io ho pensato che Il problema era la ricerca di un numero che inserito nella espressione dia un quadrato perfetto. Da ciò ho dedotto quanto scritto. Naturalmente se quello che ha proposto il quesito ha voluto significare altro, io, purtroppo non l'ho capito.

[albertobosia]

non ti preoccupare, hai capito benissimo.
quello che intend(iam)o è che per rendere \(a^3+3a^2+a\) un quadrato non è necessario che \(a=a^2+3a+1\)

[gio73]

"FreddyKruger":Veramente sostituendo -1 ad $a$ verrebbe 1...

ops!

[xXStephXx]

Ok si intendeva per interi positivi scusate se l'ho omesso... Btw giusta soluzione

[dan952]

Supponiamo che
$$a^3+3a^2+a=a[(a+1)^2+a]=b^2$$
poiché $MCD(a,(a+1)^2+a)=1$, necessariamente $a$ e $(a+1)^2+a$ devono essere quadrati perfetti, quindi ponendo $a=m^2$ e $(a+1)^2+a=n^2$ avremo che
$$(m^2+1)^2+m^2=n^2$$
cioè una terna pitagorica $(m^2+1,m,n)$, quindi devono esistere due interi positivi primi tra loro $p$ e $q$ tali che
$m=2pq\ oppure\ p^2-q^2$
$m^2+1=p^2-q^2\ oppure\ 2pq$
$n=p^2+q^2$
a seconda che $m$ sia pari o dispari.
Ora dividiamo i due casi:
$m$ pari) Avremo che $m=2pq$ e $m^2+1=p^2-q^2$, da cui ricaviamo $4p^2q^2+1=p^2-q^2$ che è assurdo poiché $4p^2q^2+1>p^2-q^2$.
$m$ dispari) Avremo che $m=p^2-q^2$ e $m^2+1=2pq$, poiché sappiamo che $4$ non divide $m^2+1$ (non lo dimostro) allora sia $p$ che $q$ sono entrambi dispari e quindi $m$ è pari contro l'ipotesi iniziale.