Punto interno ad un tetraedro

[methoX]

Dimostrare che, dato un tetraedro $ABCD$, esiste, ed è unico, un punto
$P$ interno ad esso tale che i $4$ tetraedri aventi come base rispettivamente
le $4$ facce del tetraedro e come vertice il punto $P$ hanno lo stesso volume.

[f[gabriel]

Tale punto dovrà giacere su ciascun piano parallelo a una faccia che divide l'altezza in 2 parti tali che quella che contiene il vertice è 3 volte l'altra. Chiamiamo rispettivamente $G_a$, $G_b$, $G_c$, $G_d$ i baricentri delle faccie opposte rispettivamente a A,B,C,D. Per il teorema di Commandino $AG_a$, $BG_b$, $CG_c$, $DG_d$ concorrono nel baricentro del tetraedro che chiamiamo P. Ora chiamiamo M il punto medio di CD e N di AB, allora nel triangolo $MAB$ abbiamo che $MN$, $AG_a$, $BG_b$ concorrono in P, per il teorema di menealo su $AMG_a$ e la trasversale $BG_b$ otteniamo che $\frac{\overline{AP}}{\overline{PG_a}}=3$ e quindi che $\overline{MP}=\overline{NP}$. Ma allora abbiamo che $\frac{\overline{DP}}{\overline{PG_d}}=3$ e ugualmente per gli altri, ovvero la tesi.

[G.D.5]

@f[gabriel
Vedo alcuni "invalid-markup".
Credo che dovresti usare il comando \$\bar{}\$ in luogo del comando \$\overline{}\$: credo che il secondo non sia supportato dal compilatore di formule del forum.