Punto interno ad angolo acuto: una dimostrazione

[giammaria2]

Sui due lati di un angolo acuto di vertice O sono presi i punti A e B; P è il loro punto medio. Si tracci per P un'altra retta che incontra i lati dell'angolo in C e D (C su OA); dimostrare che l'area di CDO è maggiore di quella di ABO.
Ho casualmente trovato questa proprietà in un problema di massimo e minimo; ne esiste però anche una dimostrazione elementare che vi invito a trovare.

[G.D.5]

Sia $C$ alla sinistra di $A$. Per $A$ si conduce la parallela a $OB$: questa incontra $DC$ fuori dall'angolo (se lo facesse all'interno non sarebbe parallela); si ottine un parallelogramma i cui vertici sono $A,B,D$ e la nuova intersezione $K$. I triangoli $PBD$ e $PAK$ sono congruenti e quindi equivalenti, il triangolo $ACP$ è una parte del triangolo $PAK$, quindi per il postulato di De Zolt ha una superficie minore: dato che $\Delta PBD \~= Delta APK$, il triangolo $PDB$ è maggiore di $ACP$. Dato che $\Delta OCD = Delta BPD + OCPB$ e $\Delta OBA = \Delta ACP + OCPB$, si ha la tesi.

Se $C$ sta dall'altra parte basta condurre per $B$ la parallela ad $OA$.

[giammaria2]

Giusto; io avevo tracciato per B la parallela a OA, ma è sostanzialmente la stessa cosa.