Punto interno ad angolo acuto: una costruzione

[giammaria2]

Dato un angolo acuto di vertice O e un punto P al suo interno, trovare sui lati dell'angolo i punti A e B in modo che P sia il loro punto medio.

[adaBTTLS1]

se è sufficiente una descrizione operativa, ...

unire P con O
prolungare OP dalla parte di P
prendere il punto Q sul prolungamento in modo che OP e PQ siano congruenti (Q è il simmetrico di O rispetto a P)
tracciare le parallele ai lati dell'angolo passanti per Q
A, B siano i punti d'intersezione dei lati dell'angolo con le parallele agli altri lati passanti per Q
OAQB è un parallelogramma, e P è il punto d'intersezione delle diagonali ...

perché l'angolo deve essere acuto?
non si può fare lo stesso se è ottuso?
ciao.

[G.D.5]

"adaBTTLS":
non si può fare lo stesso se è ottuso?
ciao.

Se è ottuso il segmento che unisce $A$ e $B$ non ha punti appartenenti all'angolo, ad eccezione dei soli $A$ e $B$, mentre $P$ deve essere interno all'angolo.

[giammaria2]

adaBTTLS: giusto; c'è anche un'altra risposta, fin un po' più facile. L'angolo acuto era semplicemente stato preso di peso da un altro problema, in cui era un'ipotesi necessaria.
WiZaRd: prova a fare il disegno e vedrai che sbagli; anche un angolo ottuso è una figura convessa

[G.D.5]

"giammaria":
WiZaRd: prova a fare il disegno e vedrai che sbagli; anche un angolo ottuso è una figura convessa

Sì, hai ragione. Non so perché ma ho legato l'angolo ottuso alla concavità dello stesso. Sarà stata l'ora... chiedo scusa.

[Sidereus1]

Siano s e t i lati dell'angolo
1. Tracciare per P le parallele a s e t rispettivamente, individuando i punti T e Q.
2. Tracciare il segmento TQ e la parallela a TQ passante per P, individuando i punti A ed B.
3. Il segmento AB risolve il problema, perché:
a) AP=TQ in quanto il quadrilatero APQT è un parallelogramma
b) PB=TQ, perché il quadrilatero PBQT è un parallelogramma
c) Dato che AP e PB sono entrambi uguali a TQ, sono pure uguali tra loro

[giammaria2]

Giustissimo. Aggiungo anche la mia risposta, utilizzando la figura di Sidereus. A e B sono simmetrici fra loro rispetto a P; se A varia su s il suo simmetrico si sposta sulla retta simmetrica di s rispetto a P. Traccio quindi questa retta: B è la sua intersezione con t e A è l'intersezione di PB con s.
Mi inorgoglisce aver proposto un problema che ammette tre diverse soluzioni.