Provate a dimostrarlo
Salve a tutti.
Ho lavorato nelle ultime ore ad una funzione.
Ha molte proprietà interessanti, sono curioso di vedere se qualcuno dimostrerà le proprietà che elencherò.
Dispongo al momento gia di una bella dimostrazione che vi rivelerò solo tra una settimana da adesso se nessuno risolverà l'indovinello.
Se le proprietà sono false, dimostratelo, se sono vere, domostratelo.
$f(x)=((-1)^((n+x^2)/x) + (-1)^((n-x^2)/x))/2 x in RR$ e per $n in NN$
1) $f(x)=+-1 hArr x$ divide $n$
quindi dimostrerete che se $n in Prime$ le soluzioni sono 4 $x={1,-1,n,-n}$
2) per $n !in NN x={O/}$
Quando $f(x)=+-i$? Quando $f(x)=0$?
Divertitevi^^
Ho lavorato nelle ultime ore ad una funzione.
Ha molte proprietà interessanti, sono curioso di vedere se qualcuno dimostrerà le proprietà che elencherò.
Dispongo al momento gia di una bella dimostrazione che vi rivelerò solo tra una settimana da adesso se nessuno risolverà l'indovinello.
Se le proprietà sono false, dimostratelo, se sono vere, domostratelo.
$f(x)=((-1)^((n+x^2)/x) + (-1)^((n-x^2)/x))/2 x in RR$ e per $n in NN$
1) $f(x)=+-1 hArr x$ divide $n$
quindi dimostrerete che se $n in Prime$ le soluzioni sono 4 $x={1,-1,n,-n}$
2) per $n !in NN x={O/}$
Quando $f(x)=+-i$? Quando $f(x)=0$?
Divertitevi^^
Risposte
Dimostrazione di $( x | n ) => f(x)=+-1$
Siccome $n \in mathbb{N}$ e $x | n$ allora $x \in \mathbb{Z}$ (osservazione sicuramente superflua per gli altri del forum ma ormai mi è partita e mi scoccio di cancellarla
).
Sia $\alpha = \frac{n}{x} \in \mathbb{Z}$; possono darsi due casi: $\alpha = 2*h, \ \ h \in \mathbb{Z}$ oppure $\alpha = 2*k + 1, \ \ k \in \mathbb{Z}$, e l'uno esclude l'altro.
Ora, si ha che, sotto l'ipotesi $x | n$, $\frac{n + x^2}{x}=\frac{n}{x} + x= \alpha + x$ e $\frac{n - x^2}{x}=\frac{n}{x} - x= \alpha - x$.
A questo punto può essere:
1) $\alpha=2h$ e $x$ pari: in questo caso sarà $(-1)^{\alpha - x} + (-1)^{\alpha + x}=1 + 1=2$, da cui la tesi;
2) $\alpha=2h$ e $x$ dispari: in questo caso $(-1)^{\alpha - x} + (-1)^{\alpha + x}=-1-1=-2$, da cui la tesi;
3) $\alpha=2k + 1$ e $x$ pari: si ripete il caso 2);
4) $\alpha=2k+1$ e $x$ dispari: si ripete il caso 1);
La dimostrazione di questa implicazione è conclusa.
Siccome $n \in mathbb{N}$ e $x | n$ allora $x \in \mathbb{Z}$ (osservazione sicuramente superflua per gli altri del forum ma ormai mi è partita e mi scoccio di cancellarla
). Sia $\alpha = \frac{n}{x} \in \mathbb{Z}$; possono darsi due casi: $\alpha = 2*h, \ \ h \in \mathbb{Z}$ oppure $\alpha = 2*k + 1, \ \ k \in \mathbb{Z}$, e l'uno esclude l'altro.
Ora, si ha che, sotto l'ipotesi $x | n$, $\frac{n + x^2}{x}=\frac{n}{x} + x= \alpha + x$ e $\frac{n - x^2}{x}=\frac{n}{x} - x= \alpha - x$.
A questo punto può essere:
1) $\alpha=2h$ e $x$ pari: in questo caso sarà $(-1)^{\alpha - x} + (-1)^{\alpha + x}=1 + 1=2$, da cui la tesi;
2) $\alpha=2h$ e $x$ dispari: in questo caso $(-1)^{\alpha - x} + (-1)^{\alpha + x}=-1-1=-2$, da cui la tesi;
3) $\alpha=2k + 1$ e $x$ pari: si ripete il caso 2);
4) $\alpha=2k+1$ e $x$ dispari: si ripete il caso 1);
La dimostrazione di questa implicazione è conclusa.
Io però non ho capito una cosa: la funzione esponenziale non è definita solo per la base della potenza positiva?
Nella dimostrazione dell'implicazione $x|n => f(x)=+-1$ sì; ma ho dei dubbi sulle altre implicazioni: nella traccia dell'esercizio si dice $x \in \mathbb{R}$ e questa ipotesi va usata, per esempio, nel tentativo di dimostrare l'implicazione $f(x)=+-1 => x|n$, ma sotto l'ipotesi $x \in \mathbb{R}$ la funzione in questione non è più studiabile, dal momento che mi confermi che l'esponenziale reale vuole la base positiva e l'ipotesi che l'esponente sia intero non può essere adottata, dal momento che assunta questa ipotesi si ha proprio la tesi...almeno credo.
Ottimo, avete dimostrato se $x|n rArr f(x)=+-1$
Non è la stessa dimostrazione che ho fatto io e questo mi piace
Complimenti! Veloce e puntuale.
Come qualcuno ha fatto notare, per dimostrare $f(x)=+-1 rArr x|n$ serve altri metodi e l'impresa è un po' più ardua.
CMQ, la funzione $f(x)$ va da $RR -> CC$
Un numero negativo con esponente reale è una funzione su campo complesso.
Esempio:
Dall'esempio dell'andamento della funzione nel campo vediamo la parte reale ( in rosso) e quella immaginaria (in verde).
Tra le mie domande si richiede anche quando la funzione $f(x)=+-i$, per il numero 12 notiamo che -i vale per x=8 (ed n=12).
Per 12 la funzione assume valore +-1 per tutti i divisore (anche se per 1 e 12 si vede male).
Non si vede nell'immagine, ma fidatevi che la funzione è uguale anche tra -1 e -12!
Le insidie che dice sergio sono nel fatto che la funzione è definita su tutte R. Tranne zero ovviamente perchè c'è una divisione! Dimostrare l'implicazione del "se e solo se" x|n allora f(x)=+-1 non è facile.
Buon divertimento.
PS:
Domani sera vi passo la mia dimostrazione
Non è la stessa dimostrazione che ho fatto io e questo mi piace
Complimenti! Veloce e puntuale.
Come qualcuno ha fatto notare, per dimostrare $f(x)=+-1 rArr x|n$ serve altri metodi e l'impresa è un po' più ardua.
CMQ, la funzione $f(x)$ va da $RR -> CC$
Un numero negativo con esponente reale è una funzione su campo complesso.
Esempio:
Dall'esempio dell'andamento della funzione nel campo vediamo la parte reale ( in rosso) e quella immaginaria (in verde).
Tra le mie domande si richiede anche quando la funzione $f(x)=+-i$, per il numero 12 notiamo che -i vale per x=8 (ed n=12).
Per 12 la funzione assume valore +-1 per tutti i divisore (anche se per 1 e 12 si vede male).
Non si vede nell'immagine, ma fidatevi che la funzione è uguale anche tra -1 e -12!
Le insidie che dice sergio sono nel fatto che la funzione è definita su tutte R. Tranne zero ovviamente perchè c'è una divisione! Dimostrare l'implicazione del "se e solo se" x|n allora f(x)=+-1 non è facile.
Buon divertimento.
PS:
Domani sera vi passo la mia dimostrazione
Dimostrazione di $f(x)=+-1 => (x|n)$
Sia $f(x)=\frac{(-1)^{\frac{n - x^{2}}{x}} + (-1)^{\frac{n + x^{2}}{x}}}{2}=1$, il caso $f(x)=-1$ si tratta anolagamente.
Si ha:
$\frac{(-1)^{\frac{n - x^{2}}{x}}+(-1)^{\frac{n + x^{2}}{x}}}{2}=1 => (-1)^{\frac{n}{x} - x} + (-1)^{\frac{n}{x} + x}=2 => (-1)^{\frac{n}{x}}*[(-1)^{-x} + (-1)^{x}]=2 => (-1)^{\frac{n}{x}}*[\frac{1}{(-1)^{x}} + (-1)^{x}]=2 => (-1)^{\frac{n}{x}}*[\frac{1 + (-1)^{2x}}{(-1)^{x}}]=2 => (-1)^{\frac{n}{x}} * [\frac{1 + ((-1)^{2})^{x}}{(-1)^{x}}]=2 =>$
$=> (-1)^{\frac{n}{x}}*[\frac{1+(1)^{x}}{(-1)^{x}}]=2 => (-1)^{\frac{n}{x}}*\frac{2}{(-1)^{x}}=2 => (-1)^{\frac{n}{x} - x}=1$
A questo punto si ha che, la nostra funzione assume valore in $\mathbb{R}$: poiché le potenze con base negativa sono definite in $\mathbb{R}$ solo per gli esponenti interi relativi, si ha la tesi.
P.S.
Almeno credo....
Sia $f(x)=\frac{(-1)^{\frac{n - x^{2}}{x}} + (-1)^{\frac{n + x^{2}}{x}}}{2}=1$, il caso $f(x)=-1$ si tratta anolagamente.
Si ha:
$\frac{(-1)^{\frac{n - x^{2}}{x}}+(-1)^{\frac{n + x^{2}}{x}}}{2}=1 => (-1)^{\frac{n}{x} - x} + (-1)^{\frac{n}{x} + x}=2 => (-1)^{\frac{n}{x}}*[(-1)^{-x} + (-1)^{x}]=2 => (-1)^{\frac{n}{x}}*[\frac{1}{(-1)^{x}} + (-1)^{x}]=2 => (-1)^{\frac{n}{x}}*[\frac{1 + (-1)^{2x}}{(-1)^{x}}]=2 => (-1)^{\frac{n}{x}} * [\frac{1 + ((-1)^{2})^{x}}{(-1)^{x}}]=2 =>$
$=> (-1)^{\frac{n}{x}}*[\frac{1+(1)^{x}}{(-1)^{x}}]=2 => (-1)^{\frac{n}{x}}*\frac{2}{(-1)^{x}}=2 => (-1)^{\frac{n}{x} - x}=1$
A questo punto si ha che, la nostra funzione assume valore in $\mathbb{R}$: poiché le potenze con base negativa sono definite in $\mathbb{R}$ solo per gli esponenti interi relativi, si ha la tesi.
P.S.
Almeno credo....
ciao, i passaggi sono tutti chiari, ma non mi torna l'ultimo.
Se la funzione fosse stata: $(-1)^(5/x)$
$5/x$ sarebbe intero anche per $x=5/3$ . Ed in questo caso x non è un naturale ma $QQ$.
Dovestri dimostrare che $n/x -x$ è sempre intero per ogni x.
Capito quale è il problema?
Non so come farlo visto che la mia dimostrazione è differente
Se la funzione fosse stata: $(-1)^(5/x)$
$5/x$ sarebbe intero anche per $x=5/3$ . Ed in questo caso x non è un naturale ma $QQ$.
Dovestri dimostrare che $n/x -x$ è sempre intero per ogni x.
Capito quale è il problema?
Non so come farlo visto che la mia dimostrazione è differente
Ma se $x=\frac{5}{3}$ allora l'esponente di $(-1)$ è $3 - \frac{5}{3} \in \mathbb{Q}$.
Sia $x=\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ con $a$ e $b$ coprimi; se si vuole rendere $\frac{n}{x}$ un intero allora bisogna scegliere $\frac{a}{b}$ in modo che sia $a=n$; in questo caso però $\frac{n}{x} - x$ diventa $b - \frac{a}{b}$ che non è intero dato che $a$ e $b$ vengono presi coprimi.
Sia $x=\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ con $a$ e $b$ coprimi; se si vuole rendere $\frac{n}{x}$ un intero allora bisogna scegliere $\frac{a}{b}$ in modo che sia $a=n$; in questo caso però $\frac{n}{x} - x$ diventa $b - \frac{a}{b}$ che non è intero dato che $a$ e $b$ vengono presi coprimi.
yeah! ottimo!
Questa è un altra dimostrazione. Prima vi ricordo alcune cose importanti per la dimostrazione:
$a=e^ln(a)$
$f(x)=(-1)^(n/x)*[(-1)^(x)+(-1)^(-x)]/2=((e^ln(-1)))^(n/x)*[(e^ln(-1))^(x)+(e^ln(-1))^(-x)]/2=$
Altra nota (dall'identità di eulero): $ln(-1)=pii$
$f(x)=(e^(pii))^(n/x)*[(e^(pii))^(x)+(e^(pii))^(-x)]/2=e^((n/x)*pii)*[e^(xpii)+e^(-xpii)]/2$
altra informazione: $cos(a)=(e^(ai)+e^(-ai))/2$
$f(x)=(cos(pin/x)+isin(pin/x))*cos(xpi)$
in questa funzione per valore +o- 1, entrambi i fattori devono avere valore $+-1$. Si studiano i casi separati. L'intersezione delle soluzioni delle due funzioni trigonmetriche sono proprio le soluzioni al nostro problema!
A questo punto la dimostrazione è semplice. Dal secondo cos() si nota come il suo valore sia +o- 1 solo nel caso di $x iin NN$. Siccome la soluzione è nell'intersezione, guardiamo per quale valori di $x inn NN, n/x inn NN$.
Olpà, risolto.
Vabbè, spero vi sia piaciuto l'indovinello.
Ciau^^
Questa è un altra dimostrazione. Prima vi ricordo alcune cose importanti per la dimostrazione:
$a=e^ln(a)$
$f(x)=(-1)^(n/x)*[(-1)^(x)+(-1)^(-x)]/2=((e^ln(-1)))^(n/x)*[(e^ln(-1))^(x)+(e^ln(-1))^(-x)]/2=$
Altra nota (dall'identità di eulero): $ln(-1)=pii$
$f(x)=(e^(pii))^(n/x)*[(e^(pii))^(x)+(e^(pii))^(-x)]/2=e^((n/x)*pii)*[e^(xpii)+e^(-xpii)]/2$
altra informazione: $cos(a)=(e^(ai)+e^(-ai))/2$
$f(x)=(cos(pin/x)+isin(pin/x))*cos(xpi)$
in questa funzione per valore +o- 1, entrambi i fattori devono avere valore $+-1$. Si studiano i casi separati. L'intersezione delle soluzioni delle due funzioni trigonmetriche sono proprio le soluzioni al nostro problema!
A questo punto la dimostrazione è semplice. Dal secondo cos() si nota come il suo valore sia +o- 1 solo nel caso di $x iin NN$. Siccome la soluzione è nell'intersezione, guardiamo per quale valori di $x inn NN, n/x inn NN$.
Olpà, risolto.
Vabbè, spero vi sia piaciuto l'indovinello.
Ciau^^
Mi puoi spiegare cosa significa $n NN$?
nulla, errore di battitura 
"WiZaRd":
Dimostrazione di $f(x)=+-1 => (x|n)$
Sia $f(x)=\frac{(-1)^{\frac{n - x^{2}}{x}} + (-1)^{\frac{n + x^{2}}{x}}}{2}=1$, il caso $f(x)=-1$ si tratta anolagamente.
[...]
Mi dispiace.
Non so dove, ma le due funzioni sono differenti.
Ci sono degli $x in RR$ tali che la $f(x) in NN$ anche se x non divide n. Non so quale passaggio sia sbagliato, ma le due funzioni sono differenti.
Essendo $n/x + x$ continua, attraversa tutti i numeri naturali di y tra il minimo e il massimo della funzione.
I valori di questa x sembrano essere irrazionali.
Ritornando alla funzione iniziale le condizioni per avere $+-1$ erano che sia $(n+x^2)/x$ che $(n-x^2)/x$ dovevano essere interi.Non so il motivo, ma sono entrambe intere contemporaneamente solo per x che divide n. Non solo, sono entrambe pari o dispari.
Se c'è una x tale che $(n+x^2)/x$ è naturale ma x non divide n, allora $(n-x^2)/x$ non è naturale!!! E non è un caso dato la dimostrazione con le funzioni trigonometriche.
Con maple sto disegnando le due funzione in modo separato, e non ci capisco molto, dopo n diventano fuori fase (segno che non hanno più divisori comuni forse).
Mi chiedo quale sia l'interpretazione geometrica del fatto che se x non divide n, una delle due non è sicuramente naturale.
Non me ne sono accorto subito -_-. Forse ero stanco.boh
$n/x - x$ e $n/x + x$ sono rispettivamente l'una la differenza tra i divisore (esempio per n=10 ed x=2, la prima vale 5-2=3 e la seconda 7). Non vie ra poi molto da interpretare, anche se resta cmq curiosa la cosa.
ciau
$n/x - x$ e $n/x + x$ sono rispettivamente l'una la differenza tra i divisore (esempio per n=10 ed x=2, la prima vale 5-2=3 e la seconda 7). Non vie ra poi molto da interpretare, anche se resta cmq curiosa la cosa.
ciau
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