Proprietà dell'iperbole
In un iperbole equilatera riferita ai propri asintoti($xy=k$), dato un punto P qualsiasi e la tangente in quel punto dimostrare che il punto medio del segmento formato con gli estermi dati dalle intersezioni della tangente e gli asintoti è il punto P iniziale.
Spero che sia chiaro, perchè ora come ora non mi riesco a spiegare meglio...
Ah, dimenticavo, NIENTE ANALITICA!
Edit:Urca mi ero dimenticato un pezzo!
Spero che sia chiaro, perchè ora come ora non mi riesco a spiegare meglio...
Ah, dimenticavo, NIENTE ANALITICA!
Edit:Urca mi ero dimenticato un pezzo!
Risposte
No, non è chiaro! Cosa deve fare il punto medio di quel segmento? Non l'hai detto! 
Questo teorema si puo' generalizzare al seguente modo:
"Un'iperbole (non necessariamente equilatera) ed i suoi
asintoti staccano sopra ogni trasversale r due segmenti
aventi lo stesso punto medio".
Di questo teorema propongo una dimostrazione per chi
ha conoscenze di geometria proiettiva.
Serve il teorema di Desargues-Sturm:
"Le coniche di un fascio segano sopra una retta r coppie
di punti coniugati in una medesima involuzione su r.
Nel caso di un'iperbole siano a e b gli asintoti e t
la retta impropria del piano;allora l'iperbole appartiene
al fascio di coniche individuato dalla conica (degenere)
formata da a e b e dalla conica (pure degenere) formata dalla
retta t contata due volte (dato che gli asintoti sono tangenti
all'iperbole ciascuno nel suo punto improprio).
La trasversale r tagliera' quindi la conica a.b nei punti
A e B ,la conica t.t nei punti impropri coincidenti $Poo,Poo$
e la conica data nei punti A',B'.
Le coppie (A,B) ,(A',B'),$(Poo,Poo)$ per Desargues-Sturm
sono coppie di punti coniugati in una involuzione su r
avente come punti doppi $Poo$ ed un altro punto (proprio)
Q.Poiche' uno dei due punti doppi e' improprio tale
involuzione si riduce ad una simmetria avente per centro
l'altro punto doppio Q.Pertanto i due segmenti AB e A'B'
hanno per punto medio proprio il punto Q.
In particolare se r e' tangente all'iperbole i punti
A' e B' coincideranno (nel punto Q) e quindi il punto di
contatto sara' il punto medio del segmento AB che gli asintoti
staccano su r.
c.v.d.
Lo so,e' lunga ma notare la potenza della geometria proiettiva:
non un solo calcolo!!
karl
"Un'iperbole (non necessariamente equilatera) ed i suoi
asintoti staccano sopra ogni trasversale r due segmenti
aventi lo stesso punto medio".
Di questo teorema propongo una dimostrazione per chi
ha conoscenze di geometria proiettiva.
Serve il teorema di Desargues-Sturm:
"Le coniche di un fascio segano sopra una retta r coppie
di punti coniugati in una medesima involuzione su r.
Nel caso di un'iperbole siano a e b gli asintoti e t
la retta impropria del piano;allora l'iperbole appartiene
al fascio di coniche individuato dalla conica (degenere)
formata da a e b e dalla conica (pure degenere) formata dalla
retta t contata due volte (dato che gli asintoti sono tangenti
all'iperbole ciascuno nel suo punto improprio).
La trasversale r tagliera' quindi la conica a.b nei punti
A e B ,la conica t.t nei punti impropri coincidenti $Poo,Poo$
e la conica data nei punti A',B'.
Le coppie (A,B) ,(A',B'),$(Poo,Poo)$ per Desargues-Sturm
sono coppie di punti coniugati in una involuzione su r
avente come punti doppi $Poo$ ed un altro punto (proprio)
Q.Poiche' uno dei due punti doppi e' improprio tale
involuzione si riduce ad una simmetria avente per centro
l'altro punto doppio Q.Pertanto i due segmenti AB e A'B'
hanno per punto medio proprio il punto Q.
In particolare se r e' tangente all'iperbole i punti
A' e B' coincideranno (nel punto Q) e quindi il punto di
contatto sara' il punto medio del segmento AB che gli asintoti
staccano su r.
c.v.d.
Lo so,e' lunga ma notare la potenza della geometria proiettiva:
non un solo calcolo!!
karl
karl, mi interesserebbe capire la tua soluzione proiettiva... Io di geometria proiettiva so le definizioni iniziali e qualcosa sulle proiettività (ma non so cosa sia una involuzione)...
un fascio di coniche è per me la "retta" generata da 2 coniche...
il teorema di Desargues lo conosco come il teorema che dice che, dati due triangoli, se i vertici a coppie giacciono su tre rette uscenti da un punto, allora certi particolari punti di intersezione dei lati sono allineati... ha qualche relazione con il tuo?
Una trasversale non so cosa sia...
Date queste premesse, riusciresti a farmi capire il post sopra?? Te ne sarei davvero grato!!
thx
un fascio di coniche è per me la "retta" generata da 2 coniche...
il teorema di Desargues lo conosco come il teorema che dice che, dati due triangoli, se i vertici a coppie giacciono su tre rette uscenti da un punto, allora certi particolari punti di intersezione dei lati sono allineati... ha qualche relazione con il tuo?
Una trasversale non so cosa sia...
Date queste premesse, riusciresti a farmi capire il post sopra?? Te ne sarei davvero grato!!
thx
Ma no...dai sono in quarta...non ho il tempo(e neanche la voglia sinceramente) di studiare geometria prioettiva...non c'è una soluzione elementare?
@Thomas
Praticamente mi hai chiesto il 30% circa della geom.proiet. !
Comunque qualche ragguaglio te lo posso dare,il resto lo apprenderai
assai piu' completamente all'Universita'.
Trasversale
Una trasversale r nel nostro caso e' semplicemente una retta
che tagli l'iperbole ed i suoi asintoti..niente di piu'.
Fascio di coniche
Due coniche ,in generale,si intersecano in 4 punti e tutte le infinite coniche
passanti per essi formano un fascio di coniche.I 4 punti si dicono
punti base del fascio che resta quindi determinato quando li si conosce
o quando,equivalentemente,sono note 2 coniche passanti per quei punti.
Involuzione su di una retta.
Consideriamo due punteggiate r ed r' aventi il medesimo sostegno (in parole
povere si tratta di 2 rette sovrapposte) e fissiamo una corrispondenza
( con certe regole) tra i punti di r con quelli di r' in questo modo:
Sia A un punto di r ed A' il suo corrispondente in r'.Poiche' r ed r'
sono sovrapposte si puo' considerare A' come appartenente ad r.
Il suo corrispondente A'' in r' puo' o no coincidere con A (considerato come
appartenente ad r') .Se coincide allora la corrispondenza in questione e' detta
una involuzione.Insomma ad A (in r) corrisponde A' (in r') e ad A' (in r)
corrisponde A (in r').Del resto il termine "involuzione" e' autoesplicativo.
Fissato un riferimento di ascisse su r,si dimostra che l'equazione dell'involuzione e':
(1) $ax*x'+b*(x+x')+c=0$
I punti doppi dell'involuzione sono quelli che hanno se stessi come corrispondenti.
Essi si ottengono ponendo x=x' nella (1) e dunque sono al piu' 2.
Se a=0 allora una delle radici e' $oo$ e l'altra e' $x_o=-c/(2*b)$
mentre la (1) si riduce a $(x+x')/2=x_o$ e cio' significa che l'involuzione
e' in realta una simmetria rispetto all'unico punto doppio che e' proprio.
Teorema di Desargues
Effettivamente esiste anche il teorema di Desargues sui triangoli omologici
(mi pare,vado un po' a memoria) ma non e' quello che ho enunciato io
e che riguarda le coniche.
Ora se tu immagini una retta r qualunque che taglia tutte le infinite coniche
di un fascio ,otterrai per ogni conica una coppia di punti su r.
Tutte queste coppie si corrispondono in una involuzione su r nel senso sopra detto.
@blackdie
Purtroppo non ho una soluzione elementare e senza analitica.Mi dispiace.
karl
Praticamente mi hai chiesto il 30% circa della geom.proiet. !
Comunque qualche ragguaglio te lo posso dare,il resto lo apprenderai
assai piu' completamente all'Universita'.
Trasversale
Una trasversale r nel nostro caso e' semplicemente una retta
che tagli l'iperbole ed i suoi asintoti..niente di piu'.
Fascio di coniche
Due coniche ,in generale,si intersecano in 4 punti e tutte le infinite coniche
passanti per essi formano un fascio di coniche.I 4 punti si dicono
punti base del fascio che resta quindi determinato quando li si conosce
o quando,equivalentemente,sono note 2 coniche passanti per quei punti.
Involuzione su di una retta.
Consideriamo due punteggiate r ed r' aventi il medesimo sostegno (in parole
povere si tratta di 2 rette sovrapposte) e fissiamo una corrispondenza
( con certe regole) tra i punti di r con quelli di r' in questo modo:
Sia A un punto di r ed A' il suo corrispondente in r'.Poiche' r ed r'
sono sovrapposte si puo' considerare A' come appartenente ad r.
Il suo corrispondente A'' in r' puo' o no coincidere con A (considerato come
appartenente ad r') .Se coincide allora la corrispondenza in questione e' detta
una involuzione.Insomma ad A (in r) corrisponde A' (in r') e ad A' (in r)
corrisponde A (in r').Del resto il termine "involuzione" e' autoesplicativo.
Fissato un riferimento di ascisse su r,si dimostra che l'equazione dell'involuzione e':
(1) $ax*x'+b*(x+x')+c=0$
I punti doppi dell'involuzione sono quelli che hanno se stessi come corrispondenti.
Essi si ottengono ponendo x=x' nella (1) e dunque sono al piu' 2.
Se a=0 allora una delle radici e' $oo$ e l'altra e' $x_o=-c/(2*b)$
mentre la (1) si riduce a $(x+x')/2=x_o$ e cio' significa che l'involuzione
e' in realta una simmetria rispetto all'unico punto doppio che e' proprio.
Teorema di Desargues
Effettivamente esiste anche il teorema di Desargues sui triangoli omologici
(mi pare,vado un po' a memoria) ma non e' quello che ho enunciato io
e che riguarda le coniche.
Ora se tu immagini una retta r qualunque che taglia tutte le infinite coniche
di un fascio ,otterrai per ogni conica una coppia di punti su r.
Tutte queste coppie si corrispondono in una involuzione su r nel senso sopra detto.
@blackdie
Purtroppo non ho una soluzione elementare e senza analitica.Mi dispiace.
karl
"karl":
Purtroppo non ho una soluzione elementare e senza analitica.Mi dispiace.
karl
Nemmeno nella mia versione del problema,che alla fine è quello che mi interessa?
Devo vedere,puo' darsi pure che ci sia
ma io non la conosco.
karl
ma io non la conosco.
karl
Vabbe dai,aspetto che qualcuno si faccia avanti con una bella soluzione!
Ciao e grazie
Ciao e grazie
interessante karl... davvero interessante... ho letto con curiosità ... anche perchè all'università mi sà che ci fermeremo con il poco che abbiamo fatto... non so quanto in una facoltà di fisica si possa studiare geometria proiettiva 
toglimi una curiosità... come si vede che la retta doppia all'infinito è una conica? Nella mia inesperienza mi verrebbe in mente considerarla come il luogo di zeri (visti in coordinate omogenee) di:
$p(y_1,y_2,y_3)=(y_3)^2$
ha senso? è corretto? no perchè un pò mi impressiona sentire parlare di retta impropria doppia come conica, ma deve essere l'inesperienza del "beginner"...
... anche perchè all'università mi sà che ci fermeremo con il poco che abbiamo fatto... non so quanto in una facoltà di fisica si possa studiare geometria proiettiva toglimi una curiosità... come si vede che la retta doppia all'infinito è una conica? Nella mia inesperienza mi verrebbe in mente considerarla come il luogo di zeri (visti in coordinate omogenee) di:
$p(y_1,y_2,y_3)=(y_3)^2$
ha senso? è corretto? no perchè un pò mi impressiona sentire parlare di retta impropria doppia come conica, ma deve essere l'inesperienza del "beginner"...
Una conica e' una curva che si caratterizza per il fatto di avere
in comune con una retta non piu' di 2 punti.Ora pure due rette
(incidenti ,parallele o sovrapposte che siano) hanno in comune con una retta
al piu' 2 punti.Pertanto da questo punto di vista anche la "curva" formata da due
rette (proprie o improprie) puo' chiamarsi conica (sia pure degenere).
Nel caso di 2 rette sovrapposte i 2 punti di cui prima vanno considerati
anch'essi coincidenti.
Per la retta impropria non e' che questa sia un luogo di "zeri" ma e' il luogo
dei punti del piano che hanno la terza coordinata (proiettiva) nulla:ed e' per
questo che si suole dire che la sua equazione e' $x_3=0$.
Esattamente come si dice,per esempio, che l'asse delle ascisse e' il luogo
dei punti del piano aventi la seconda coordinata nulla e quindi di equazione $x_2=0$
A meno che le cose non siano cambiate drasticamente non credo che all'Universita'
avrai poco a che fare con la proiettiva ,anzi...
karl
in comune con una retta non piu' di 2 punti.Ora pure due rette
(incidenti ,parallele o sovrapposte che siano) hanno in comune con una retta
al piu' 2 punti.Pertanto da questo punto di vista anche la "curva" formata da due
rette (proprie o improprie) puo' chiamarsi conica (sia pure degenere).
Nel caso di 2 rette sovrapposte i 2 punti di cui prima vanno considerati
anch'essi coincidenti.
Per la retta impropria non e' che questa sia un luogo di "zeri" ma e' il luogo
dei punti del piano che hanno la terza coordinata (proiettiva) nulla:ed e' per
questo che si suole dire che la sua equazione e' $x_3=0$.
Esattamente come si dice,per esempio, che l'asse delle ascisse e' il luogo
dei punti del piano aventi la seconda coordinata nulla e quindi di equazione $x_2=0$
A meno che le cose non siano cambiate drasticamente non credo che all'Universita'
avrai poco a che fare con la proiettiva ,anzi...
karl
forse confondo le coniche con le quadriche...
ma a noi le coniche ci sono state presentate in sostanza come il luogo di zeri di polinomi di secondo grado...
non per mettere in dubbio quanto dici (è solo che non capisco ), ma come fà ad essere vero il teorema di Desargues con questa definizione di conica? Non potrò sempre trovare a questo punto una conica di un fascio che mi intersechi una retta fissata in due punti arbitrari? Ed a questo punto come è possibile che esista l'involuzione?
Grazie mille per l'aiuto, karl!
ma a noi le coniche ci sono state presentate in sostanza come il luogo di zeri di polinomi di secondo grado...
non per mettere in dubbio quanto dici (è solo che non capisco
), ma come fà ad essere vero il teorema di Desargues con questa definizione di conica? Non potrò sempre trovare a questo punto una conica di un fascio che mi intersechi una retta fissata in due punti arbitrari? Ed a questo punto come è possibile che esista l'involuzione?Grazie mille per l'aiuto, karl!
Si puo' fare cosi'.
L'equazione di una involuzione ,come gia' detto,e' del tipo:
(1) axx'+b(x+x')+c=0.
Siano ora (m,m') e (n,n') le ascisse di due coppie di punti
corrispondenti e sostituendo nella (1):
amm'+b(m+m')+c=0
ann'+b(n+n')+c=0
che rappresenta un sistema lineare omogeneo nelle incognite (a,b,c).
Come e' noto esso,se ha una soluzione (a,b,c),ne ha infinite
del tipo (ka,kb,kc) con k non nullo e arbitrario per il resto.
Sostituendo queste soluzioni nelle (1) avremo l'equazione
di una sola involuzione che resta quindi individuata in modo
univoco da 2 coppie di punti coniugati.
Cio' premesso ,supponiamo che il fascio di coniche sia
costruito mediante 2 coniche C1 e C2 di equazioni:
f(x,y)=0 e g(x,y)=0 dove f e g sono due polinomi di 2° grado
nelle variabili x ed y (proprio come dici te).
Con una opportuna trasformazione di coordinate possiamo sempre
supporre che la retta r sia di equazione y=0 (asse x) e quindi
le ascisse delle sue intersezioni con C1 e C2 sono date dalle equaz.:
f(x,0)=0 e g(x,0)=0.
Le radici (m,m') e (n,n') di esse possono essere interpretate
come quelle di 2 due coppie di punti che individuano univocamente
(come prima asserito) una involuzione $Omega$ su r.
Ora la domanda e' questa :la $Omega$ cambiera' se al posto di C1
o di C2 scegliamo altre coniche del fascio?
Desargues_Sturm dicono di no:vediamo se gli possiamo credere!!
L'equazione della generica conica del fascio si puo' mettere
nella forma : (2) $lambdaf(x,y)+mug(x,y)=0$ con $lambda,mu$ parametri
arbitrari ma non entrambi nulli.Le intersezioni della (2) con r hanno
ascisse date da:
(3) $lambdaf(x,0)+mug(x,0)=0$ al variare di $lambda,mu$.
Ora tra le coppie di radici della (3) ci sono pure le coppie
(m,m') e (n,n') di cui prima : basta per questo scegliere una volta
$lambda=1,mu=0$ ed un'altra $lambda=0,mu=1$.
Ma si e' gia' detto che una involuzione e' individuata in modo
univoco da 2 coppie di punti corrispondenti e quindi ,anche
sostituendo a C1 e a C2 altre coniche del fascio,si ottiene sempre
la medesima involuzione $Omega$.
Desargues-Sturm hanno proprio ragione.
Un saluto da karl
L'equazione di una involuzione ,come gia' detto,e' del tipo:
(1) axx'+b(x+x')+c=0.
Siano ora (m,m') e (n,n') le ascisse di due coppie di punti
corrispondenti e sostituendo nella (1):
amm'+b(m+m')+c=0
ann'+b(n+n')+c=0
che rappresenta un sistema lineare omogeneo nelle incognite (a,b,c).
Come e' noto esso,se ha una soluzione (a,b,c),ne ha infinite
del tipo (ka,kb,kc) con k non nullo e arbitrario per il resto.
Sostituendo queste soluzioni nelle (1) avremo l'equazione
di una sola involuzione che resta quindi individuata in modo
univoco da 2 coppie di punti coniugati.
Cio' premesso ,supponiamo che il fascio di coniche sia
costruito mediante 2 coniche C1 e C2 di equazioni:
f(x,y)=0 e g(x,y)=0 dove f e g sono due polinomi di 2° grado
nelle variabili x ed y (proprio come dici te).
Con una opportuna trasformazione di coordinate possiamo sempre
supporre che la retta r sia di equazione y=0 (asse x) e quindi
le ascisse delle sue intersezioni con C1 e C2 sono date dalle equaz.:
f(x,0)=0 e g(x,0)=0.
Le radici (m,m') e (n,n') di esse possono essere interpretate
come quelle di 2 due coppie di punti che individuano univocamente
(come prima asserito) una involuzione $Omega$ su r.
Ora la domanda e' questa :la $Omega$ cambiera' se al posto di C1
o di C2 scegliamo altre coniche del fascio?
Desargues_Sturm dicono di no:vediamo se gli possiamo credere!!
L'equazione della generica conica del fascio si puo' mettere
nella forma : (2) $lambdaf(x,y)+mug(x,y)=0$ con $lambda,mu$ parametri
arbitrari ma non entrambi nulli.Le intersezioni della (2) con r hanno
ascisse date da:
(3) $lambdaf(x,0)+mug(x,0)=0$ al variare di $lambda,mu$.
Ora tra le coppie di radici della (3) ci sono pure le coppie
(m,m') e (n,n') di cui prima : basta per questo scegliere una volta
$lambda=1,mu=0$ ed un'altra $lambda=0,mu=1$.
Ma si e' gia' detto che una involuzione e' individuata in modo
univoco da 2 coppie di punti corrispondenti e quindi ,anche
sostituendo a C1 e a C2 altre coniche del fascio,si ottiene sempre
la medesima involuzione $Omega$.
Desargues-Sturm hanno proprio ragione.
Un saluto da karl
Per ora mi limito a ringraziarti .... quando ho tempo leggo per bene anche l'ultima dimostrazione che hai scritto!
.... quando ho tempo leggo per bene anche l'ultima dimostrazione che hai scritto!
"karl":
L'equazione della generica conica del fascio si puo' mettere
nella forma : (2) $lambdaf(x,y)+mug(x,y)=0$ con $lambda,mu$ parametri
arbitrari ma non entrambi nulli.Le intersezioni della (2) con r hanno
ascisse date da:
(3) $lambdaf(x,0)+mug(x,0)=0$ al variare di $lambda,mu$.
Ora tra le coppie di radici della (3) ci sono pure le coppie
(m,m') e (n,n') di cui prima : basta per questo scegliere una volta
$lambda=1,mu=0$ ed un'altra $lambda=0,mu=1$.
Ma si e' gia' detto che una involuzione e' individuata in modo
univoco da 2 coppie di punti corrispondenti e quindi ,anche
sostituendo a C1 e a C2 altre coniche del fascio,si ottiene sempre
la medesima involuzione $Omega$.
Desargues-Sturm hanno proprio ragione.
Un saluto da karl
Non capisco questo passaggio. Una volta che scrivi la forma generale della conica, si deve verificare che per ogni $\lambda$ e $\mu$ fissato la coppia di radici associata descrive due punti coniugati nell'involuzione trovata dalle coniche base del fascio. Perchè fai variare questi parametri?
Per quanto mi riguarda non si deve dimostrare niente.
Per ogni coppia di valori dei due parametri,ovvero
per ogni coppia di coniche del fascio,si ha un'equazione
di 2° grado in x le cui radici, come si e' detto ,sono gia'
interpretabili come le ascisse di due punti coniugati in una medesima
involuzione su r.Per determinare tale involuzione occorrono
due coppie di punti che si possono scegliere intersecando due
qualunque coniche del fasci con r ,dato che le altre coppie di coniche
sono comunque una combinazione lineare delle due che si sono
inizialmente prese.E' come per le applicazioni lineari tra spazi
vettoriali:la base puo' essere formata da un qualunque insieme
massimale di vettori linearmente indipendenti tra loro ma per
il resto scelti come si vuole tra quelli possibili.
karl
Per ogni coppia di valori dei due parametri,ovvero
per ogni coppia di coniche del fascio,si ha un'equazione
di 2° grado in x le cui radici, come si e' detto ,sono gia'
interpretabili come le ascisse di due punti coniugati in una medesima
involuzione su r.Per determinare tale involuzione occorrono
due coppie di punti che si possono scegliere intersecando due
qualunque coniche del fasci con r ,dato che le altre coppie di coniche
sono comunque una combinazione lineare delle due che si sono
inizialmente prese.E' come per le applicazioni lineari tra spazi
vettoriali:la base puo' essere formata da un qualunque insieme
massimale di vettori linearmente indipendenti tra loro ma per
il resto scelti come si vuole tra quelli possibili.
karl
ok... prese due coniche di un fascio, questo sono una base per il fascio, ma per ogni coppia di coniche io individuo un'involuzione. Perchè questa involuzione dovrebbe essere invariante rispetto alla scelta della coppia? come si vede da quanto hai scritto sopra?
E' questo che non capisco
scusa per l'insistenza
E' questo che non capisco
scusa per l'insistenza
Dato che non mi riesce di spiegarmi con la teoria mi spiego con un esempio.
Consideriamo le due coniche:
$C_1:9x^2-6xy+y^2-48x+16y+48=0$
$C_2:x^2-6xy+9y^2+16x-48y+48=0$
Intersechiamole con la retta r :y=0,ottenendo per ciascuna conica
le coppie di ascisse:
$(x_1=4,x'_1,4/3),(x_2=-4,x'_2=-12)$
L'involuzione su r determinata da queste coppie,come gia' detto,e'
della forma $a*(x*x')+b*(x+x')+c=0$ e sostituendo le coppie si ha:
$((16/3)a+(16)/3b+c=0,(48a-16b+c=0))$
da cui $b=2a,c=-16a$ e quindi l'nvoluzione e' :
(1) $x*x'+2(x+x')-16=0$
Ora intersechiamo con la r una qualunque conica del fascio determinato da $C_1,C_2$:
$[y=0,lambda(9x^2-6xy+y^2-48x+16y+48)+mu(x^2-6xy+9y^2+16x-48y+48)=0]$
da cui l'equazione:
$(9lambda+mu)x^2-(48lambda-16mu)x+(48lambda+48mu)=0$
Poiche' ci interessano solo x+x' ed xx' si ha:
(2) $x+x'=(48lambda-16mu)/(9lambda+mu),x*x'=(48lambda+48mu)/(9lambda+mu)$
Sostituendo nella (1) si vede che essa e' soddisfatta identicamente ovvero
qualunque siano $lambda,mu$
Per maggior comprensione si puo' notare che le (2) si possono scrivere anche cosi':
$x+x'=(48lambda-16mu)/ (9lambda+mu) =(16)/3*(9lambda)/(9lambda+mu)+(-16)(mu)/(9lambda+mu)=h(x_1+x'_1)+k(x_2+x'_2)$
$x*x'=(48lambda+48mu)/ (9lambda+mu) =(16)/3*(9lambda)/(9lambda+mu)+(48)(mu)/(9lambda+mu)=h(x_1x'_1)+k(x_2x'_2)$
E' quindi evidente che sostituendo tali ultime espressioni nella (1) questa sara' soddisfatta
in quanto essa e' soddisfatta dalle coppie determinate su r da C1 e C2.
karl
Consideriamo le due coniche:
$C_1:9x^2-6xy+y^2-48x+16y+48=0$
$C_2:x^2-6xy+9y^2+16x-48y+48=0$
Intersechiamole con la retta r :y=0,ottenendo per ciascuna conica
le coppie di ascisse:
$(x_1=4,x'_1,4/3),(x_2=-4,x'_2=-12)$
L'involuzione su r determinata da queste coppie,come gia' detto,e'
della forma $a*(x*x')+b*(x+x')+c=0$ e sostituendo le coppie si ha:
$((16/3)a+(16)/3b+c=0,(48a-16b+c=0))$
da cui $b=2a,c=-16a$ e quindi l'nvoluzione e' :
(1) $x*x'+2(x+x')-16=0$
Ora intersechiamo con la r una qualunque conica del fascio determinato da $C_1,C_2$:
$[y=0,lambda(9x^2-6xy+y^2-48x+16y+48)+mu(x^2-6xy+9y^2+16x-48y+48)=0]$
da cui l'equazione:
$(9lambda+mu)x^2-(48lambda-16mu)x+(48lambda+48mu)=0$
Poiche' ci interessano solo x+x' ed xx' si ha:
(2) $x+x'=(48lambda-16mu)/(9lambda+mu),x*x'=(48lambda+48mu)/(9lambda+mu)$
Sostituendo nella (1) si vede che essa e' soddisfatta identicamente ovvero
qualunque siano $lambda,mu$
Per maggior comprensione si puo' notare che le (2) si possono scrivere anche cosi':
$x+x'=(48lambda-16mu)/ (9lambda+mu) =(16)/3*(9lambda)/(9lambda+mu)+(-16)(mu)/(9lambda+mu)=h(x_1+x'_1)+k(x_2+x'_2)$
$x*x'=(48lambda+48mu)/ (9lambda+mu) =(16)/3*(9lambda)/(9lambda+mu)+(48)(mu)/(9lambda+mu)=h(x_1x'_1)+k(x_2x'_2)$
E' quindi evidente che sostituendo tali ultime espressioni nella (1) questa sara' soddisfatta
in quanto essa e' soddisfatta dalle coppie determinate su r da C1 e C2.
karl
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