Progressione aritmetica
Siccome è ora di pranzo, un esercizietto da risolvere fra due successive chiamate per il pranzo (come si diceva risolvesse certi problemi Euler 
)
Dimostrare che esistono infiniti numeri primi della forma $4q+1$, con $q \in NN$.
)Dimostrare che esistono infiniti numeri primi della forma $4q+1$, con $q \in NN$.
Risposte
$4q+1=m/n$
da cui
$q=1/4(m/n-1)$ che è naturale per gli infiniti $(m/n-1)$ che sono multipli di 4.
Correggetemi se sbaglio... è il primo esercizio di questo tipo che svolgo!
da cui
$q=1/4(m/n-1)$ che è naturale per gli infiniti $(m/n-1)$ che sono multipli di 4.
Correggetemi se sbaglio... è il primo esercizio di questo tipo che svolgo!
matematicoestinto, quello che hai scritto non c'entra con il problema...
Quello che devi dimostrare è in sostanza che nella progressione aritmetica infinita
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, ....., 4q+1,.....
ci sono infiniti numeri primi, ovvero che ci sono infiniti primi $p$ tali che esiste $q\ in NN$ tale che $p=4q+1$.
Quello che devi dimostrare è in sostanza che nella progressione aritmetica infinita
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, ....., 4q+1,.....
ci sono infiniti numeri primi, ovvero che ci sono infiniti primi $p$ tali che esiste $q\ in NN$ tale che $p=4q+1$.
Già.... attenderò la risposta di qualcuno
E' un caso particolare del famoso teorema di Dirichlet; conosco una dimostrazione che fà uso del teorema di Fermat...chissà se ne esiste una più elementare...ci penserò!
Certo che esiste una dimostrazione elementare, anzi super elementare, altrimenti non avrei postato il problema.
Boh io già ho provato due strade diverse e mi riduco sempre a ricorrere al piccolo teorema di Fermat...
Be', non si rifiuta nessuna soluzione! In fondo anche il piccolo teorema di Fermat fa parte della teoria elementare.
Ok allora aspettiamo un pò...in caso poi posto la mia soluzione con il teorema di Fermat.
Va bè la posto ora...
Si supponga per assurdo che esistano, in numero finito, i primi $p_(i)$ nella forma $p_(i)=4t+1$. Si consideri dunque $s in NN : s=4(prod_(p)p_(i))^2+1$; per il teorema fondamentale dell'aritmentica $s$ può essere univocamente scomposto nel prodotto di fattori primi $q_(i)$; poichè si ha $s-=1 (mod4)$ i $q_(i)$ saranno necessariamente nella forma $4t+3$.
Si ha dunque $s-=0 (modq_(i))$ i.e. $s-1-=-1 (modq_(i))$ ma $s-1$ è un quadrato perfetto pari per cui ponendo $s-1=r^2$ si ha $r^2-=-1(modq_(i))$; elevando ambo i membri a $(q_(i)-1)/2$ si ottiene $r^(q_(i)-1)-=(-1)^((q_(i)-1)/2)(modq_(i))$ che per il piccolo teorema di Fermat è vera sse $q_(i)-=1(mod4)$ il che è assurdo perchè si ha necessariamente $q_(i)-=3(mod4)$ come mostrato prima. Dunque $s$ è un nuovo primo nella forma $4t+1$ e da qui la tesi.
Si supponga per assurdo che esistano, in numero finito, i primi $p_(i)$ nella forma $p_(i)=4t+1$. Si consideri dunque $s in NN : s=4(prod_(p)p_(i))^2+1$; per il teorema fondamentale dell'aritmentica $s$ può essere univocamente scomposto nel prodotto di fattori primi $q_(i)$; poichè si ha $s-=1 (mod4)$ i $q_(i)$ saranno necessariamente nella forma $4t+3$.
Si ha dunque $s-=0 (modq_(i))$ i.e. $s-1-=-1 (modq_(i))$ ma $s-1$ è un quadrato perfetto pari per cui ponendo $s-1=r^2$ si ha $r^2-=-1(modq_(i))$; elevando ambo i membri a $(q_(i)-1)/2$ si ottiene $r^(q_(i)-1)-=(-1)^((q_(i)-1)/2)(modq_(i))$ che per il piccolo teorema di Fermat è vera sse $q_(i)-=1(mod4)$ il che è assurdo perchè si ha necessariamente $q_(i)-=3(mod4)$ come mostrato prima. Dunque $s$ è un nuovo primo nella forma $4t+1$ e da qui la tesi.
Esatto!
La mia dimostrazione è analoga alla tua, solo ho usato il fatto che l'ordine di un numero modulo $n$ divide $\phi(n)$. Quindi pensandoci la mia soluzione usa il teorema di Euler, quindi non è più elementare della tua!
La mia dimostrazione è analoga alla tua, solo ho usato il fatto che l'ordine di un numero modulo $n$ divide $\phi(n)$. Quindi pensandoci la mia soluzione usa il teorema di Euler, quindi non è più elementare della tua!
A completamento della interessante dimostrazione di Giuseppe87x
aggiungo che un numero primo (positivo) della forma 4n+1 e' sempre
esprimibile come somma del quadrato di 2 interi.
karl
aggiungo che un numero primo (positivo) della forma 4n+1 e' sempre
esprimibile come somma del quadrato di 2 interi.
karl
Ops... ho visto solo adesso questo post.
Bravo Giuseppe!
Io conoscevo una dimostrazione simile,
che comunque ho letto e non cercato
per conto mio.
Infinitamente più semplice (disarmante,
anzi!) è dimostrare che anche i numeri
primi della forma 4q-1 sono infiniti
Bravo Giuseppe!
Io conoscevo una dimostrazione simile,
che comunque ho letto e non cercato
per conto mio.
Infinitamente più semplice (disarmante,
anzi!) è dimostrare che anche i numeri
primi della forma 4q-1 sono infiniti
"Bruno":
Infinitamente più semplice (disarmante,
anzi!) è dimostrare che anche i numeri
primi della forma 4q-1 sono infiniti
Hint: il prodotto di due interi nella forma $(4q+1)$ è ancora un intero in quella forma.
sinceramente ho letto solo velocemente i post precedenti..cmq qst esercizio lo si risolve velocemente con una dimostrazione per induzione mi pare
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