Prodotto di tre consecutivi

[kobeilprofeta]

Il prodotto di tre numeri consecutivi non è mai un quadrato perfetto. Me l'hanno presentata come congettura, io credo di aver trovato la dimostrazione. Provateci prima di guardare lo spoiler.

Noto che i quadrati perfetti sono tutti e soli quei numeri che hanno ogni fattore primo che compare un numero pari di volte. Ora considero $(n-1)*n*(n+1)=n*(n^2-1)$. Noto che $n^2-1$ non è quadrato, quindi ha almeno un fattore primo $p$ che compare un numero dispari di volte. Affinchè $n*(n^2-1)$ sia quadrato, $n$ deve contenere un numero dispari di volte il fattore $p$. Ma questo è assurdo perchè $n^2-1$ e $n$ non hanno fattori in comune. (se li avessero, chiamiamolo $x$, si avrebbe che $n$ è multiplo di $x$, quindi anche $n^2$ e poi $n^2-1$...assurdo.

[al_berto]

Ossia l'equazione:
$x(x+1)(x+2)= y^2$ non ammette soluzioni intere.
So che anche $ x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=y^2$ non ammette soluzioni intere.
Che $ x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=y^3$ non ammette soluzioni intere.
So che il prodotto di tre numeri consecutivi è divisibile per 3 e per 6.
Mi fermo qui.

[kobeilprofeta]

Tu dici di sapere che $(x)*(x+1)*(x+2)=y^2$ non ha soluzioni intere... Come lo dimostri? È proprio questo il problema.

[al_berto]

"al_berto":Ossia l'equazione:
$ x(x+1)(x+2)= y^2 $ non ammette soluzioni intere.

Io non ho detto di sapere, ho solo cercato di tradurre in equazione ciò, che tu hai affermato.
Il resto che ho scritto lo so perchè l'ho trovato su testi ed in rete.
Non ho mai trovato invece ( pur credendo che sia vero) l'affermazione che il prodotto di tre numeri consecutivi non è mai un quadrato perfetto.
Ho trovato invece che un numero naturale può essere il quadrato di un altro se termina per 1,4,5,6,9 oppure con un numero pari di zeri. Ma non basta, si deve poi verificare che gli esponenti dei suoi fattori primi siano tutti pari.
Può essere quest'ultima una strada per la dimostrazione?

[kobeilprofeta]

Sí. Puó essere quella. Ma nessuno sa se è effettivamente una congettura o un fatto ben noto (come credo)?

[Rigel1]

"kobeilprofeta":Ma nessuno sa se è effettivamente una congettura o un fatto ben noto (come credo)?

Qui c'è un risultato più generale.
Qui trovi una discussione sull'argomento (è il primo link restituito da google).

[al_berto]

@ rigel
THEOREM 1
The product of two or more consecutive positive integers is
never a power
Quindi due o PIU' consecutivi non è mai una POTENZA.
grazie

[kobeilprofeta]

"Rigel":[quote="kobeilprofeta"]Ma nessuno sa se è effettivamente una congettura o un fatto ben noto (come credo)?

Qui c'è un risultato più generale.
Qui trovi una discussione sull'argomento (è il primo link restituito da google).[/quote]

Grazie Rigel... Era ovvio che era un risultato molto noto, ma volevo averne una conferma. Ciao :ciao: