Problemuccio di Tdn
Dimostrare che per ogni primo $p>2$ esiste una ed una sola coppia di interi positivi tali che
$m^2=n(n+p)$, e trovare tale coppia in funzione di p.
Ciao!
$m^2=n(n+p)$, e trovare tale coppia in funzione di p.
Ciao!
Risposte
vediamo un pò...
pensando $m^2=n^2+np$ come equazione in $n$ si ha $n_{1,2}=(-p _-^+sqrt(p^2+4m^2))/2$ e dunque una coppia $(m,n)$ risolve l'equazione sse $p^2+4m^2=c^2$ per qualche $c$, ovvero, posto $r=2m$, sse $p^2=c^2-r^2=c^2-(c-d)^2$, per qualche $d$. Per cui abbiamo una soluzione sse $p^2=2cd+d^2$, da cui segue che $d|p^2$, ma se $d\geqp$, allora si trova l'assurdo che $p^2=2cd+d^2\geq2cp+p^2$ e quindi $c=0$.
Per cui deve essere $d=1$, per cui la condizione di esistenza della soluzione diviene $p^2=c^2-(c-1)^2$. Osservando ora che la differenza di due quadrati consecutivi spazza una ed una sola volta tutti i numeri dispari si ottiene la tesi.
La determinazione esplicita si ottiene facilmente dai precedenti passaggi...
pensando $m^2=n^2+np$ come equazione in $n$ si ha $n_{1,2}=(-p _-^+sqrt(p^2+4m^2))/2$ e dunque una coppia $(m,n)$ risolve l'equazione sse $p^2+4m^2=c^2$ per qualche $c$, ovvero, posto $r=2m$, sse $p^2=c^2-r^2=c^2-(c-d)^2$, per qualche $d$. Per cui abbiamo una soluzione sse $p^2=2cd+d^2$, da cui segue che $d|p^2$, ma se $d\geqp$, allora si trova l'assurdo che $p^2=2cd+d^2\geq2cp+p^2$ e quindi $c=0$.
Per cui deve essere $d=1$, per cui la condizione di esistenza della soluzione diviene $p^2=c^2-(c-1)^2$. Osservando ora che la differenza di due quadrati consecutivi spazza una ed una sola volta tutti i numeri dispari si ottiene la tesi.
La determinazione esplicita si ottiene facilmente dai precedenti passaggi...
"ubermensch":
si ha $n_{1,2}=(-p _-^+2sqrt(p^2+m^2))/2$
quindi $n_{1,2}=(-(p/2) _-^+sqrt(p^2+m^2))$ non mi sembra un naturale essendoci $p/2$
infatti ci stavo pensando pure io...
ho sbagliato la formula risolutiva... ahah
ora ho corretto
ora ho corretto
ancora non va uber, perchè quella roba dovrebbe essere un naturale?
se $p^2+4m^2$ è un quadrato (sicuramente dispari), allora $-p+sqrt(p^2+4m^2)$ è un intero positivo pari.
qualcosa non va ancora viene $m^2=-(p^2+1)/8$ temo che tu abbia trovato una soluzione immaginaria...secondo me non ha soluzioni a parte $(m,n)=(0,0)$ se i naturali positivi includono lo 0
oopure per $p=3 (m,n)=(2,1)$
oopure per $p=3 (m,n)=(2,1)$
per $p=7$ c'è la soluzione $(m,n)=(12,9)$... ricavata applicando il mio procedimento che è giusto...
non capisco cosa non ti convince...
non ho capito la tua obiezione.. e da dove ti viene fuori quel valore di $m$...
..
non capisco cosa non ti convince...
non ho capito la tua obiezione.. e da dove ti viene fuori quel valore di $m$...
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infatti avevo sbagliato...cmq ho fatto così d=1 $c=(p^2+1)/2$ $m^2=(c^2-p^2)/4=(p^2-1)^2/16=>m=(p^2-1)/4$adesso dovrebbe essere giusto
perfetto...
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